Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Задание фигур в пространстве

Аффинные системы координат

В дальнейшем будем обозначать: Е₃ – трехмерное точечное пространство, V₃ – трехмерное векторное пространство. Выберем произвольную точку ОÎ Е₃ и произвольный (аффинный) базис { } пространства V₃.

Определение 1. Набор, состоящий

из точки О и базиса { } называется аффинной системой координат в пространстве Е₃. Обозначаем: О .

Точку О называют началом координат, а векторы – координатными векторами. Прямую О , заданную точкой О и вектором называем осью Ох, прямую О – осью Оу, а прямую О – осью Оz. Одновременно с осями координат мы выделяем координатные плоскости, которые делят все пространство на 8 частей. Плоскость определяемая осями Ох и Оу обозначаем Оху и, аналогично, плоскости Охz, Оуz.

С помощью аффинной системы координат, мы имеем возможность сопоставить каждой точке набор чисел – ее координаты.

Рассмотрим произвольную точку М Î Е₃. Одновременно с точкой М мы получим вектор , который имеет координаты (х; у; z) в базисе { }: (х; у; z). Эту тройку чисел (х; у; z) мы называем аффинными координатами точки М в О : М (х; у; z).

Если в качестве базиса выбрать ортонормированную тройку векторов { }, то получим прямоугольно декартовую систему координат О .

Для построения точки М(х; у; z) по ее координатам в О поступаем следующим образом: от точки О откладываем вектор = х , от точки М₁ откладываем вектор = y , далее откладываем от точки М₂ вектор = z . Так как по правилу многоугольника получим

= + + = х + y + z ,

то М заданная точка.

Ломаная ОМ₁М₂М называется координатной ломаной точки М. В дальнейшем часто систему координат О будем обозначать Охуz.

Итак, мы определили координаты точки, зная понятие координаты вектора. С другой стороны, пусть мы имеем в Охуz две точки А(х₁; у₁; z₁) и В(х₂; у₂; z₂). Одновременно мы получим векторы , (х₂; у₂; z₂) и (х₁; у₁; z₁). Из векторного равенства = − находим координаты вектора (х₂– х₁; у₂ – у₁; z₂ – z₁).

Простое отношение трех точек

Пусть в аффинной системе координат Охуz заданы различные точки А(х₁; у₁; z₁), В(х₂; у₂; z₂) и точка М(х; у; z), лежащая на прямой (АВ).

Определение 2. Назовем простым отношением трех точек А, В и М число l, если имеет место равенство:

. (1)

Обозначаем: l = (АВ, М).

Следует обратить внимание, что М ¹ В, так как ¹ и равенство нельзя получить ни при каком l. С другой стороны, значения l могут быть как положительные (), так и отрицательные (), и возможно l = 0 (М = А).

Решим задачу о нахождении координат точки М, если известно простое отношение l, в котором она делит направленный отрезок АВ.

Пусть М(х; у; z), тогда

(х – х₁; у – у₁; z – z₁), (х₂– х; у₂ – у; z₂ – z).

Равенство (1) в координатной форме имеет вид:

х – х₁ = l (х₂– х),

у – у₁ = l (у₂– у),

z – z₁ = l (z₂– z).

Отсюда находим:

, , . (2)

Частный случай, когда М является серединой отрезка АВ, дает координаты точки М:

, , . (3)

Задание фигур в пространстве

Пусть в пространстве введена система координат Охуz. Как мы показали, положение любой точки однозначно определяется ее координатами. Если Ф – некоторое множество точек (фигура), то всем ее точкам характерно некоторое свойство, присущее только точкам этой фигуры, а значит и для координат точек этой фигуры выполняется соотношение, присущее только точкам этой фигуры.

Определение. Пусть в данной системе координат имеем некоторое уравнение

F (x, y, z) = 0. (1)

Уравнение (1) называется уравнением фигуры Ф, если координаты любой точки этой фигуры, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Следует добавить, что уравнение (1) будет уравнением фигуры, если выполняются два условия: 1) Если М() Î Ф, то координаты () удовлетворяют (1); 2) Если координаты () удовлетворяют уравнению (1), то М() Î Ф.

Под уравнением фигуры мы понимаем не только алгебраические уравнения, но и неравенства, системы уравнений и неравенств, а также их любые комбинации. Например, неравенство

(х –- a)² +(у – b)² + (z – g)² £ R²

является уравнением шара с центром в точке (a, b, g) и радиусом R.

Аналогично определяется уравнение фигуры на плоскости, только в системе координат Оху.

Уравнение является уравнением точек первой четверти, причем точки, лежащие на осях координат, не принадлежат данному множеству.

Пример 1. Центр О и вершина А правильного шестиугольника ABCDEF имеют координаты О(–1; 2), А(1; 4). Найти координаты остальных вершин.

Решение. Так как точка О является серединой отрезка АD, то находим координаты точки D. Обозначим D (х; у), тогда согласно (3) имеем:

, .

Отсюда получим: х = – 3, у = 0. D(-3; 0).

Так как данный шестиугольник правильный, то АВО и AFO – правильные треугольники. Значит, точки В и F являются точками, равноудаленные от точек А и О. Пусть В(х; у). Из условия |AB| = |OB| = |OA| получим |AВ|² = |ОB|² = |ОА|². В координатной форме это выглядит так:

Следовательно, B(;3- ) и F (– ; 3 + ).

Так как точки Е и С симметричны точкам В и F относительно точки О, то находим их координаты аналогично тому, как мы находили координаты точки D. Обозначим Е(х; у), тогда согласно (3) имеем:

, .