 |
Расстояние от точки до плоскости
|
|
|
|
Пусть плоскость p задана общим уравнением в О 
:
p: 
= 0
Нормальный вектор плоскости имеет координаты: 
. Выберем произвольно точку М0(
) и найдем расстояние от точки М0 до плоскости p. Из точки М0 опустим перпендикуляр на плоскость p и обозначим основание перпендикуляра М1(
).
Так как М1Îp, то 
= 0
и D = - (
+ 
). (9)
Искомое расстояние равно |М1М0|. С другой стороны 
|| 
и, следовательно, угол j между ними равен или 0 или p. Поэтому:
(, ) = | 1|× | |×cosj = ±| |× | | = ±| |× 
.
Очевидно, (
.
Поэтому, учитывая (9), получим:
(, ) = 
+ 
= = 
= 
.
Чтобы избавиться от знаков ±, будем рассматривать выражения по абсолютной величине. Получим:
| |× = | |,
r(М0, p) = |М1М0| = 
. (10)
Замечание. Пусть даны две параллельные плоскости. Тогда можно рассматривать расстояние между этими плоскостями. Найти это расстояние можно как расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.
Знак четырехчленна Ах+Ву+Сz+D
Пусть плоскость p задана общим уравнением в О 
:
p: = 0
Нормальный вектор плоскости имеет координаты: . От произвольной точки М0() плоскости p откладываем представитель 
вектора , М1(). Пусть плоскость p разбивает пространство на два открытых полупространства, которые обозначим a и b, причем полупространство a содержит отрезок . Тогда, как нетрудно заметить, если точка М(
) расположена в полупространстве a, то угол между векторами и 
будет острый. Если точка М расположена в полупространстве b, то угол между векторами и будет тупой. Рассматривая скалярные произведения этих векторов, получим:
1. Если точка М расположена в полупространстве a, то (, ) > 0.
1. Если точка М расположена в полупространства b, то (, ) < 0.
Записывая 1 и 2 в координатной форме получим:
М Î a Û 
> 0,
|
|
|
М Î b Û < 0,
Учитывая, что точка М0Î p, (см (9)) получим:
М Î a Û > 0, (11)
М Î b Û < 0. (12)
Таким образом, строгие неравенства (11), (12) являются уравнениями открытых полупространств. Если неравенства нестрогие, т.е.
≥ 0, (13)
£ 0. (14),
то они являются уравнениями полупространств (вместе с граничной плоскостью p).
Пример. Заданы четыре точки в прямоугольной декартовой системе координат: А(-1; 2; 3), В(2; -2; 3), С(-1; 4; 5), D(-1; 6; 0).
(А, В, С, D – вершины тетраэдра).
1. Составить уравнение всех плоскостей, содержащих грани тетраэдра.
2. Найти косинус угла между плоскостями (АВС) и (АВD).
3. Найти длину высоты тетраэдра, проведенную из вершины D.
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку D и перпендикулярно прямой (B,D).
5. Записать систему неравенств, задающих внутреннюю область тетраэдра ABCD.
Решение.
1. Плоскость (АВС) можно задать точкой А(-1; 2; 3) и векторами 
, 
.
Поэтому ее параметрические уравнения будут иметь следующий вид:
Запишем уравнение плоскости в форме определителя
(1)
Разложив определитель по первой строке, получим общее уравнение плоскости (ABC):
.
Аналогично можно получить общие уравнения плоскостей оставшихся граней тетраэдра, а именно:
(ABD): 4x + 3y + 4z − 14 = 0,
(ACD): x + 1 = 0,
(BCD): 34x + 15y + 6z – 56 = 0.
2. Обозначим 
- острый двугранный угол между плоскостями (АВС) и (ABD). (
, где 
- нормальные вектора, соответственно, плоскостей (АВС) и (ABD). Так как 
или 
, то 
.
Из общих уравнений данных плоскостей имеем:
и 
.
Тогда
,
,
,
.
Таким образом, косинус угла между плоскостями (АВС) и (ABD) равен 
3. Длину высоты тетраэдра, проведенную из вершины D(-1; 6; 0) можно вычислить как расстояние от точки D до плоскости (АВС): .
,
где | DH | - искомая высота.
Учитывая, что 
,
где А, В, С, D – коэффициенты общего уравнения плоскости (АВС), а x0, y0, z0 – координаты точки D, найдем искомую высоту:
.
4. По условию вектор 
(–3; 8; –3) является нормальным вектором искомой плоскости. Поэтому ее можно задать точкой D(–1; 6; 0) и нормальным вектором 
, а значит можно воспользоваться известным уравнением:
|
|
|
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z– z0)=0,
где А, В, С – координаты нормального вектора плоскости;
x0, y0, z0 – координаты точки, принадлежащей плоскости.
Подставив в данное уравнение, получим:
– 3(x + 1) + 8(y – 6) – 3z = 0 
3x – 8y + 3z + 51=0.
5. Внутреннюю область тетраэдра можно задать как пересечение открытых полупространств, определяемых плоскостями граней тетраэдра и содержащих рассматриваемый тетраэдр. Для этого нам необходимо иметь уравнения этих плоскостей (эти уравнения были получены ранее):
(ABD): 4x + 3y + 4z − 14 = 0,
(ACD): x + 1 = 0,
(BCD): 34x + 15y + 6z – 56 = 0,
(АВС): 4х+ 3у -3z +7= 0.
Чтобы определить необходимое полупространство, заданное, например, плоскостью (АВС), мы выясним знак четырехчлена 4х+ 3у -3z +7 при подстановке координат точки D(-1; 6; 0):
4∙ (-1)+3∙6 - 3∙0 + 7=21>0.
Таким образом, уравнением необходимого полупространства будет неравенство: 4х+ 3у -3z +7 > 0.
Аналогично мы находим уравнения остальных открытых полупространств, содержащих данный тетраэдр: 34x + 15y + 6z – 56 < 0, x + 1 > 0, 4x + 3y + 4z − 14 >0.
Следовательно, внутренняя область тетраэдра будет задаваться следующей системой неравенств:
|
|
|
