Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Полярная система координат

Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться и другими системами координат. В частности широко используется полярная система координат. На плоскости выберем точку и обозначим ее О. Рассмотрим луч с началом в О, а на луче выберем единичный отрезок ОЕ. Точка О называется полюсом, а луч ОЕ называется полярной осью. Положение любой точки М на плоскости, отличной от О определяется парой чисел: расстоянием r = |OM| и величиной угла между лучами ОЕ и ОМ, причем угол ориентирован, т. е. положительное направление против часовой стрелки, а отрицательное – по часовой стрелке. Для точки О считаем r = 0, а угол j не определен.

Для рассматриваемых полярных координат мы имеем r ³ 0, а j Î R. Однако, в нашем случае пары чисел (r, j) и (r, j + 2 к), где к – любое целое число, представляют собой координаты одной и той же точки плоскости. Поэтому выделяют главные значения угла 0 £ j < 2p.

Рассмотрим одновременно с полярной системой координат прямоугольно декартовую, у которой начало координат совпадает с О, а ось абсцисс содержит полярную ось, причем сохраняет положительное направление оси и масштаб. В этом случае обе эти системы координат однозначно определяют друг друга.

С одной стороны:

а с другой:

, , .

В полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе О и радиусом R имеет вид: r = R.

Уравнение луча ОА, составляющего угол a с полярной осью, имеет вид: j = a.

Обобщенные полярные координаты.

В полярной системе координат Оrj всегда выполняется неравенство r . Поэтому не всякая пара действительных чисел является полярными координатами точки. Например, пара (–1; ). Для устранения этого недостатка вводят так называемые обобщенные полярные координаты точки. Пусть (r; j) – произвольная пара действительных чисел. Если r ³ 0, то этой парой числе задается точка с полярными координатами (r; j). Если r< 0, то будем считать, что этой парой чисел (r; j) определяется точка А, симметричная точке Ã(|r|;j) относительно полюса О. Можно говорить не о симметричности относительно полюса О, а прибавлять к углу j число p.

Например, пара чисел (−3; ) задает точку А с полярными координатами (3; ).

Пример 1. Найдем уравнение прямой, не проходящей через полюс О. Зададим эту прямую числом р, длиной отрезка ОР и углом a, где Р – основание перпендикуляра ОР на прямую, а a –ориентированный угол между лучом ОР и полярной осью.

Если произвольная точка М(r, j) принадлежит данной прямой, то р = rcos (j −a) и обратно.

Поэтому имеем уравнение прямой: .

Пример 2. Луч вращается вокруг своего начала О с постоянной скоростью w. Найти параметрические уравнения траектории точки М, если она начала движение от точки А ¹О, и движется по лучу со скоростью пропорциональной расстоянию |OM|.

Решение. Примем за полярную систему координат начальное положение луча , где точка О будет полюсом. За параметр t примем время. Тогда положение точки М через промежуток t определяется значениями полярных координат r и j, где r изменяется от значения до + ¥. При этом r¢ = lr, а j = wt. Из дифференциального уравнения

r¢ = lr

находим:

Þ Þln - ln = lt Þ .

Рассмотрим согласованную с полярной системой координат прямоугольную декартовую систему. Известна связь между координатами этих систем.

Заменяя полярные координаты, получим параметрические уравнения траектории точки М:

РЕШЕНИЕ НУЛЕВОГО ВАРИАНТА

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую

перпендикулярно плоскости: 3х – 5 у + 5 z + 3 = 0.

Решение. Искомая плоскость a будет проходить через данную прямую, а следовательно через точку прямой М₀ (2; – 3; – 1). Направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор заданной плоскости параллельны искомой плоскости. Так как векторы и не коллинеарные (их координаты не пропорциональны), то составим уравнение плоскости в виде определителя по точке и двум неколлинеарным векторам:

Разложим определитель по первой строке

a: .

Ответ: .

2. Даны плоскости, заданные в О уравнениями:

a: 2х – 3у + 3 = 0, b: х – у + z +2 = 0.

Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения данных плоскостей и перпендикулярную плоскости b.

Решение. Найдем две общие точки данных плоскостей. Для этого решим систему уравнений:

Пусть у = 0, тогда система примет вид

Отсюда получим, что х = , z = .

Решением системы будет тройка чисел . Искомая точка М₁ . Пусть у = 1, тогда система примет вид

Отсюда получим, что х = 0, z = . Решением системы будет тройка чисел . Искомая точка М₂ .

Из уравнения плоскости b находим ее нормальный вектор .

Для составления уравнения искомой плоскости обратим внимание на то, что точки М₁и М₂ принадлежат ей, а вектор будет ей параллелен. Поэтому составляем уравнение плоскости по точке М₂ и двум неколлинеарным векторам и . Можно заменить вектор на вектор . Запишем уравнение в виде определителя: . Разложив определитель по первой строке, получим уравнение искомой плоскости,:

3. Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(6; 2; 3) перпендикулярно плоскости, проходящей через точки В (1; 4; 4), С (0; 2; 4), D (1; 3; 3).

Решение. Найдем уравнение плоскости (BCD) по трем точкам B, C, D

Разложив определитель по первой строке, получим уравнение плоскости (BCD):

Нормальный вектор плоскости (BCD) будет направляющим вектором искомой прямой. Составим канонические уравнения прямой по точке А(6; 2; 3) и направляющему вектору :

Ответ: .

4. Даны прямые, заданные в О уравнениями:

ℓ₁: и ℓ₂: .

Найти уравнение плоскости, проходящей через первую прямую параллельно второй прямой.

Решение. Согласно условию задачи точка М₀ (– 1; – 1; 4), принадлежащая первой прямой, лежит в искомой плоскости. Кроме этого имеем два вектора: , направляющий вектор прямой ℓ₁ и , направляющий вектор прямой ℓ₂, которые параллельны искомой плоскости и не параллельны между собой. Составим уравнение плоскости

a: .

Раскрываем определитель по первой строке:

= – 3(х + 1) + 6(у +1) – 12(z – 4) = – 3х + 6у – 12z +51.

Следовательно, – 3х + 6у – 12z +51 = 0 и получаем уравнение плоскости a: х –2у + 4z – 17 = 0.

5. Вычислить расстояние от точки P (-1; 1; -2) до плоскости, проходящей через точки, заданные в О : А (1; 4; 4), B (0; 2; 4), C (1; 3; 3).

Решение. Найдем уравнение плоскости (АВС) по трем заданным точкам:

.

Разложив определитель по первой строке, получим:

.

Следовательно, = 0 уравнение плоскости (АВС).

Воспользуемся известной формулой для вычисления расстояния от точки до плоскости

.

Ответ: .

Тест

Отметьте номер правильного ответа в бланке ответов

	Задания	Варианты ответов
А1	Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М₁(1; – 2; 1) и М₂(3; 1; – 1)	1) 2) 3) 4) 5) =0
A2	Найти расстояние от точки М₀ (–1; 2) до прямой ℓ:	1) 2) 3) 2 4) 5 5)
A3	Найти расстояние между прямыми ℓ₁: и ℓ₂:	1) 2) 5 3) 4) 5) 6
А4	Найти косинус угла между прямыми ℓ₁и ℓ₂, если ℓ₁: и ℓ₂:	1) 2) 3) 4) 5) 0
А5	Найти уравнение касательной к окружности в точке	1) 2) 3) 4) 5)
А6	Две стороны квадрата лежат на прямых ℓ₁: и ℓ₂: . Вычислить его площадь	1) 64 2) 81 3) 16 4) 49 5) 25
А7	В О заданы точки: А(1; 0), В(0; 1), С(1; 2) Найти общее уравнение прямой (ВС).	1) 2) х + у – 1=0 3) у = х +1 4) 5) х – у + 1=0
А8	В О заданы точки: А(1; 0), В(0; 1), С(1; 2) Найти общее уравнение медианы (АМ) треугольника АВС.	1) 2)х– у+1=0 3)х+3у –3=0 4) 3х+у – 3=0, 5)
А9	В О заданы точки: А(1; 1), В(0; 2), С(2; 4) Найти общее уравнение биссектрисы угла ÐАВС.	1) х – у = 0, 2) 2х+3у – 1 =0, 3) х = 2, 4) у – 2 = 0, 5) у = 2х.
А10	В О заданы точки: А(1; 1),В(0; 2), С(2; 4). Вычислить расстояние от точки А до биссектрисы угла В в треугольнике АВС.	1) 1, 2) -2, 3) 4, 4) 0, 5) 2.
А11	В О заданы точки:А(1; 1), В(0; 2), С(2; 4). Вычислить площадь треугольника АВВ_1,где ВВ₁ - биссектриса угла В в треугольнике АВС.	1) 2, 2) , 3) , 4) -1, 5) 3
А12	В О заданы плоскости a:х-у+z = -3, b: 2x-3z+4=0 найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения данных плоскостей и ^ a.	1)х – у - 8z=19; 2)21x - 3y - 24z+19=0; 3)x - 3y+5z - 21=0; 4) x+3y - 5z - 21=0; 5) 21x - 3y+24z+19=0
A13	Уравнение прямой имеет вид, если она проходит через точку В(4,2,-3) и перпендикулярна плоскости ACD, где A(1,-1,1), C(0,2,4), D(1,3,3), (O ).	1)21x-3y+24z+19=0;2) 3) ; 4)х – у – z +3=0; 5)
А14	Уравнение плоскости ACD имеет вид, где A(1,-1,1),C(0,2,4), D(1,3,3), (O ).	1) 3х – у + 2z – 6 =0, 2) 3х + у + 2z + 6 =0, 3) у + 2z – 6 =0, 4) 3х + 2z – 6 =0, 5) 3х – у -2z – 6 =0
A15	Найти расстояние от точки B(4,2,-3) до плоскости ACD, где A(1,-1,1),C(0,2,4), D(1,3,3), (O ).	1) 2, 2) , 3) 3, 4) , 5)