 |
Расстояние от точки до прямой
|
|
|
|
Пусть прямая ℓ задана общим уравнением в О 
:
ℓ: 
= 0.
Нормальный вектор прямой имеет координаты: 
. Выберем произвольно точку М0(
) и найдем расстояние от точки М0 до прямой ℓ.
Из точки М0 опустим перпендикуляр на прямую ℓ и обозначим основание перпендикуляра М1(
). Так как М1 Î ℓ, то 
= 0 и
С = – (
). (8)
Искомое расстояние равно |М1М0|. С другой стороны 
|| 
и, следовательно, угол j между ними равен или 0, или p.
Поэтому:
(, ) = | |× | |×cosj = ± | |× | | = ± | |× 
.
Запишем полученное равенство в координатной форме.
Имеем:
(
.
Поэтому, учитывая (8) получим:
(, ) = 
= 
= 
.
Учитывая, что скалярное произведение векторов может быть отрицательным, будем рассматривать его по абсолютной величине. Получим:
| |× = | |,
|М1М0| = 
. (9)
Знак трехчлена Ах + Ву + С
Пусть прямая ℓ задана общим уравнением в О :
ℓ: = 0.
Нормальный вектор прямой имеет координаты: . От произвольной точки 
прямой ℓ откладываем представитель 
вектора . Пусть прямая ℓ разбивает плоскость на две открытые полуплоскости, которые обозначим a и b, причем полуплоскость a содержит отрезок 
.
Тогда, как нетрудно заметить, если точка М(
) расположена в полуплоскости a, то угол между векторами 
и 
будет острый. Если точка М расположена в полуплоскости b, то угол между векторами и будет тупой. Рассматривая скалярные произведения этих векторов, получим:
1. если точка М расположена в полуплоскости a, то (, 
) > 0.
2. если точка М расположена в полуплоскости b, то (, ) < 0.
Записывая 1 и 2 в координатной форме получим:
М Î a Û 
> 0,
М Î b Û < 0.
Учитывая, что точка точки 
Î ℓ, (см (8)) получим:
М Î a Û > 0, (10)
М Î b Û < 0. (11)
Таким образом, строгие неравенства (10), (11) являются уравнениями открытых полуплоскостей. Если неравенства нестрогие, т.е.
|
|
|
≥ 0, (12)
£ 0. (13),
то они являются уравнениями полуплоскостей (вместе с граничной прямой ℓ).
.
Пример. В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости заданы точки: А(2; −1), В(−1; 3), С(4; −5).
1) Составить уравнения прямой АВ в канонической, параметрической и общей формах. Определить координаты ее нормального вектора.
2) Определить угловой коэффициент прямой (А, С) и отрезки, отсекаемые ею на осях координат.
3) Найти косинус угла между прямыми (А, В) и (А, С).
4) Найти длину высоты треугольника АВС, проведенной из вершины С и составить уравнение прямой, содержащей этот отрезок.
Решение. 1. Прямую (А, В) можно задать точкой А(2; −1) и вектором 
, тогда каноническое и параметрическое задания данной прямой будут выглядеть следующим образом:
(1)
и
где 
R. (2)
Из канонического уравнения (1) равносильными переходами получим ее общее уравнение:
,
. (3)
Из уравнения (3) найдем координаты нормального вектора этой прямой: 
.
2. Аналогично пункту (1) можно получить общее уравнение прямой (АС): 2x + y − 3 = 0.
Откуда
y = −2x + 3.
Следовательно, угловой коэффициент этой прямой k = − 2.
Уравнение прямой (А, С) запишем в виде: 2x + y = 3 и, разделив обе части уравнения на 3, получим
.
Мы имеем уравнение прямой в отрезках. Отсюда находим точки пересечения прямой с осями координат: 
, B(0;3)
3. Для нахождения косинуса угла между прямыми (А, В) и (А, С) используем следующую формулу:
,
где 
– значение угла между прямыми, k1, k2 – угловые коэффициенты данных прямых. Во второй части задания мы нашли k2 = −2.
Общее уравнение прямой (А,В) получено в первой части задания:
4x + 3y − 5 = 0, откуда 
и k1= 
.
Следовательно,
.
Итак, 
.
4.
 |
Длину высоты
можно рассматривать как расстояние от точки С(4;−5).до прямой (А,В): 
.
Таким образом, 
. Формула расстояния от точки до прямой известна: 
.
|
|
|
Следовательно, 
.
Итак, |CH|=0,8.
Прямую (CH) можно задать точкой С(4; -5) и нормальным вектором 
. Поэтому −3 ∙(x − 4) + 4 ∙(y +5)=0,
3x - 4y – 32 = 0 – уравнение прямой (C,H).
|
|
|
