Наиболее важные приемы преобразования уравнений

Введение

 

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики.

В школе иррациональным уравнениям и неравенствам уделяется достаточно мало внимания.

Однако задачи по теме "Иррациональные уравнения и неравенства" встречаются на вступительных экзаменах, и они довольно часто становятся "камнем преткновения".

Так как при решении иррациональных уравнений и неравенств в школе применяются тождественные преобразования, то чаще всего возникают ошибки, которые обычно связаны с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения. Поэтому необходимо рассмотреть такие ситуации, показать, как их распознавать и как с ними можно бороться.

Цель данной курсовой работы: разработать методику обучения решению иррациональных уравнений и неравенств в школе, а также выявить возможности использования общих методов решения уравнений при решении иррациональных уравнений и неравенств.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

Проанализировать действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств;

Изучить стандарты образования по данной теме;

Изучить статьи и учебно-методическую литературу по данной теме;

Подобрать теоретический материал, связанный с равносильностью уравнений и неравенств, равносильностью преобразований, методами решения иррациональных уравнений и неравенств;

Показать, как общие методы решения уравнений применимы для решения иррациональных уравнений и неравенств;

Подобрать примеры решения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрации излагаемой теории.

Гипотеза исследования: применение разработанной методики решения иррациональных уравнений и неравенств позволит учащимся решать иррациональные уравнения и неравенства на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный метод, применять разные методы решения, в том числе те, которые не рассмотрены в школьных учебниках.

Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа

 

При изучении любой новой темы в основном курсе школы встает проблема изложения данной темы в школьных учебниках. Поэтому сначала проанализируем действующие учебники по алгебре и началам математического анализа для 10-11 классов, чтобы выяснить, как в них представлены методы решения иррациональных уравнений и неравенств.

" Алгебра и начала анализа, 10-11", авт.А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. [ 13].

Материал по данной теме изложен в IV главе "Показательная и логарифмическая функции", как пункт "Иррациональные уравнения" параграфа "Обобщение понятия степени". Автор рекомендует рассматривать решение иррациональных уравнений в теме "Уравнения, неравенства, системы", где систематизируются сведения об уравнениях.

В пункте "Иррациональные уравнения" дается понятие иррационального уравнения, приводится несколько примеров простейших иррациональных уравнений вида , которые решаются с помощью возведения обеих частей уравнения в квадрат. Найденные корни проверяются подстановкой в исходное уравнение, при этом обращено внимание на те случаи, когда могут появиться посторонние корни. Показано, что кроме возведения в квадрат иррациональные уравнения удобно решать, используя равносильный переход от уравнения к системе, состоящей из уравнения и неравенства. Рассмотрен пример иррационального уравнения, содержащего корень третьей степени. Для того чтобы "избавиться от радикала", обе части такого уравнения возводятся в куб.

После пункта приведены упражнения для закрепления умений решать иррациональные уравнения. В №№417-420 предложены простейшие уравнения, решить которые можно с помощью возведения обеих частей уравнения либо в квадрат, либо в куб, а также используя равносильные переходы. Такие задачи, по мнению авторов учебника необходимо уметь решать для получения удовлетворительной оценки. Задачи же в №№422-425 чуть сложнее. Здесь уже уравнения содержат корни выше третьей степени.

Иррациональным неравенствам в данном пункте внимания не уделено.

В заключительной главе учебника "Задачи на повторение" помещены практические упражнения для повторения курса. Здесь в параграфе "Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств" иррациональным уравнениям и неравенствам посвящен пункт "Иррациональные уравнения и неравенства".

" Алгебра и начала анализа, 10-11", авт. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. [1].

В данном учебнике нет материала, посвященного иррациональным уравнениям и неравенствам. Лишь в конце ученика помещены упражнения для итогового повторения курса алгебры. Здесь есть только один номер для решения простейших иррациональных уравнений (№801). Упражнений для решения иррациональных неравенств нет.

Это можно объяснить тем, что, по мнению автора, умение решать иррациональные неравенства не является обязательным для учащихся и соответствующая тема может быть предложена для изучения самостоятельно или на факультативных занятиях. [14] Поэтому в учебнике предложены задачи для внеклассной работы, где встречаются иррациональные уравнения (№№934, 947) и неравенства (№942).

" Алгебра и начала анализа, 10-11", авт.М.И. Башмаков [2].

В данном учебном пособии иррациональные уравнения и неравенства рассматриваются в заключительной VI главе "Уравнения и неравенства". Глава предназначена для систематизации и обобщения сведений об уравнениях, неравенствах и системах уравнений. В начале главы помещена вводная беседа, которая состоит из трех пунктов.

В пункте "Уравнение" вводятся такие понятия как уравнение, неизвестные, корень уравнения, подробно рассказывается, что значит решить уравнение с одним или двумя неизвестными, что означает найти корни уравнения, приведены некоторые рекомендации о форме записи ответа при решении уравнений с одним или двумя неизвестными.

В пункте "Равносильность" выясняется, когда одно уравнение является следствием другого, вводится понятие равносильных уравнений. Автор подробно останавливается на некоторых полезных преобразованиях уравнений:

Тождественное преобразование одной из частей уравнения и перенос членов из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Переход к совокупности уравнений.

Переход к системе уравнений.

Все равносильные переходы представлены в виде схем и рассмотрены на примерах.

В следующем пункте "Неравенство" приведены примеры верных и неверных числовых неравенств, основные правила преобразования неравенств, при этом используются знаки следствия и равносильности. Вводятся такие понятия как ОДЗ неравенства, решение неравенства, равносильные неравенства, выясняется, когда одно неравенство является следствием другого.

§1 "Уравнения с одним неизвестным" состоит из трех пунктов: "Общие приемы", "Примеры решения уравнений" и "Приближенные методы вычисления корней". В первом пункте перечислены стандартные уравнения, которые были изучены ранее. Основным шагом в решении уравнения является преобразование уравнения к одному из стандартных. Приведены некоторые наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений:

Разложение на множители.

Введение нового неизвестного.

Графический метод.

Во втором пункте на ряду со стандартными уравнениями рассматривается решения одного простейшего иррационального уравнения с помощью равносильного перехода к системе.

В третьем пункте кратко рассказывается о таких методах приближенного вычисления корней как метод половинного деления, метод хорд и касательных.

§ 2 "Неравенства с одним неизвестным" состоит из двух пунктов: "Общие приемы" и "Примеры решения неравенств". В первом пункте демонстрируется два приема решения неравенств: разложение на множители и метод замены неизвестного.

Во втором пункте на примерах показана техника решения неравенств с помощью переходов, сохраняющих равносильность. На ряду со стандартными неравенствами рассматривается решение одного простейшего иррационального неравенства.

Глава заканчивается заданиями. К заголовку "Иррациональные уравнения" относится №17, к заголовку "Иррациональные неравенства" - №21, в котором есть задание со звездочкой, то есть относящееся к разделу "трудные задачи".

Иррациональным уравнениям и неравенствам в главе уделено мало внимания: решение одного простейшего иррационального уравнения и одного неравенства.

Цель данной главы - обобщить имеющиеся у учащихся знаний об уравнениях, неравенствах и системах уравнений, поэтому здесь подробно не рассматриваются конкретные виды уравнений, а лишь повторяются сведения об изученных видах уравнений и методах их решения. [14]

" Алгебра и начала анализа, 10-11", авт.А.Г. Мордкович [10], [11].

Данное учебное пособие состоит из двух частей: учебника и задачника.

В первой части данного учебного пособия материал, касающийся иррациональных уравнений и неравенств, изучается в последней VIII главе "Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств", завершающей изучение школьного курса алгебры и начал математического анализа. Здесь уравнения и неравенства рассматриваются с самых общих позиций. Это, с одной стороны, своеобразное подведение итогов и, с другой стороны, некоторое расширение и углубление знаний.

В первых трех параграфах этой главы подведены итоги изучения в школе уравнений, неравенств. Использованы следующие термины:

равносильность уравнений, равносильность неравенств;

следствие уравнения, следствие неравенства;

равносильное преобразование уравнения, неравенства;

посторонние корни (для уравнений);

проверка корней (для уравнений).

Сформулированы теоремы:

о равносильности уравнений;

о равносильности неравенств.

Даны ответы на четыре главных вопроса, связанных с решением уравнений:

как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием;

какие преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие;

как сделать проверку, если она сопряжена со значительными трудностями в вычислениях;

в каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Перечислены возможные причины расширения области определенияуравнения, одна из которых - освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четной степени; указаны причины, по которым может произойти потеря корней при решении уравнений.

Выделены четыре общих метода решения уравнений:

замена уравнения h (f (x)) = h (g (x)) уравнением f (x) = g (x);

метод разложения на множители;

метод введения новых переменных;

функционально-графический метод.

Что касается иррациональных уравнений, то им в данном учебном пособии уделено достаточно большое внимание.

На примере иррационального уравнения показано как в три этапа осуществляется решение любого уравнения:

Первый этап - технический;

Второй этап - анализ решения;

Третий этап - проверка.

Также на примере иррационального уравнения показано, как сделать проверку, если проверка корней с помощью их подстановки в исходное уравнение сопряжена со значительными вычислительными трудностями.

Метод замены уравнения h (f (x)) = h (g (x)) уравнением f (x) = g (x) применятся при решении иррациональных уравнений для перехода от уравнения  к уравнению .

Метод введения новой переменной также разобран и на примере решения иррационального уравнения.

Отдельный пункт посвящен иррациональным неравенствам. Здесь с теоретическим обоснованием рассматривается решение неравенств вида , . В первом случае иррациональное неравенство заменяется равносильной системой неравенств  во втором - равносильной совокупностью систем неравенств

Система задач изложена в той же последовательности, что и соответствующий материал в I части. В § 55 "Равносильность уравнений" изложены различные типы заданий на равносильность и следствие уравнений, в том числе и иррациональных. В § 56 "Общие методы решения уравнений" помещены задания для использования четырех методов, изложенных в I части данного учебного пособия, для решения уравнений. Все задачи в соответствии с ними разбиты на четыре блока, в каждом из которых встречаются иррациональные уравнения. В § 57 "Решение неравенств с одной переменной" изложены различные типы заданий на равносильность и следствие неравенств, в том числе и иррациональных.

В № 1673 нужно решить простейшие иррациональные уравнения. №№1674, 1675, 1712-1719 - упражнения выше среднего уровня для решения иррациональных уравнений, №№1790, 1791 - неравенств. № 1792 - упражнение повышенной трудности для решения иррациональных неравенств.

Много заданий, в которых требуется решить "смешанное" уравнение или неравенство, то есть логарифмическое, показательное или тригонометрическое уравнение или неравенство, в которое входят и иррациональные выражения. Среди этих заданий есть задания как базового, так и повышенного уровня.

В I части учебника много внимание уделено равносильности уравнений и неравенств, достаточно строго рассмотрены общие методы решения уравнений, с оговоркой о потере корней и приобретении посторонних. II часть учебника отличается обилием и разнообразием задач. Достаточно много задач на равносильность и следствие уравнений и неравенств.

" Сборник задач по алгебре, 8-9", авт. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич [ 5]

Данная книга представляет собой сборник задач по курсу алгебры, предназначенный для учащихся 8-9 классов с углубленным изучением математики.

В начале параграфа "Степень с рациональным показателем" помещен справочный материал теоретического характера, посвященный иррациональным уравнениям и неравенствам. Описаны такие пути решения иррациональных уравнений, как:

возведение обеих частей уравнения в натуральную степень с последующей проверкой найденных корней;

переход к равносильным системам, в которых учитывается область определения уравнения и требование неотрицательности обеих частей уравнения, возводимых в четную степень.

При решении иррациональных неравенств либо используется метод интервалов, либо с помощью равносильных преобразований заменяется данное иррациональное неравенство системой (или совокупностью систем) рациональных неравенств.

В параграфе рассмотрено три способа решения иррационального уравнения вида :

переход к равносильной системе;

введение новой переменной;

использование свойства монотонности функций.

Среди упражнений, помещенных в данном параграфе, есть упражнения для закрепления умений и навыков решать иррациональные уравнения и неравенства. В №№115-117 необходимо доказать, что уравнение не имеет решения, в №№118-119 - ответить на вопрос: равносильны ли уравнения. №№120-144 предлагаются для решения иррациональных уравнений, №№145-155 - для решения неравенств описанными выше способами.

" Алгебра и математический анализ, 11", авт.Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд [4].

Данное учебное пособие представляет собой продолжение книги "Алгебра и начала анализа" для 10 класса и предназначено как для общеобразовательной школы, так и классов и школ с углубленным изучением курса математики.

Иррациональные уравнения и неравенства изучаются в параграфе "Степенная функция. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства" VIII главы "Показательная, логарифмическая и степенные функции".

Пункт "Иррациональные уравнения" начинается с определения иррационального уравнения и примеров таких уравнений. Далее сформулирована и доказана теорема о равносильных уравнениях, на которой основано решение иррациональных уравнений. Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могут появиться посторонние корни. Поэтому, чтобы не было необходимости подставлять найденные корни в данное уравнение, сформулировано еще два утверждения о равносильном переходе от уравнений вида  и  к системам, состоящим из уравнения и неравенства. Далее на примерах решения иррациональных уравнений демонстрируются данные равносильные переходы. Также автор рекомендует перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень "уединить радикал", то есть представить уравнение в виде . Далее данный метод применяется для решения иррациональных уравнений

После данного пункта помещены упражнения для закрепления умений решать иррациональные уравнения описанными выше методами - №216. В №215 необходимо доказать, что данные иррациональные уравнения не имеют решений.

В следующем пункте "Иррациональные неравенства" сформулированы приемы решения иррациональных неравенств вида  и  с помощью равносильного перехода к системе неравенств в первом случае и совокупности систем неравенств - во втором. Рассматривается решение иррационального неравенства вида  с помощью равносильного перехода к неравенству . Решение каждого из видов неравенств демонстрируется на примерах.

После данного пункта помещены упражнения для закрепления умения решать иррациональные неравенства с помощью равносильных переходов, описанных выше - №217.

Все утверждения, сформулированные в данном учебном пособии, изложены со строгим обоснованием. Описан полезный метод при решении иррациональных уравнений - метод "уединения радикала". Не смотря на то, что учебник не отличается обилием упражнений, предлагаемые задания разнообразны, различной степени сложности

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

В учебнике [1] материала по методам решения иррациональных уравнений нет. В учебниках [13] и [4] материал по теории методов решения скудный, но довольно строгий. В большом объеме теория по общим методам решения рассмотрена учебниках [2] и [10].

В каждом учебнике рассмотрены два основных способа решения: возведение обеих частей уравнения в степень, с последующей подстановкой полученных корней в исходное уравнение, а также решение уравнений с помощью равносильных переходов к системе, состоящей из уравнения и неравенства. В учебниках [2] и [10] рассмотрены такие общие методы решения уравнений как метод разложения на множители, метод введения новых переменных, функционально-графический метод

В учебниках [1] и [13] не рассмотрено решение иррациональных неравенств. В учебнике [2] материал по решению иррациональных неравенств скудный, изложение не достаточно строгое. В учебниках [4] и [10] теория по способам решения иррациональных неравенств вида ,  рассмотрена подробно, изложение теории строгое. Только в учебнике Виленкина рассматривается решение иррационального неравенства вида .

Наиболее большой объем упражнений для решения иррациональных уравнений и неравенств представлен в учебниках [11] и [5]. В учебнике [4] упражнений не много, но они разнообразны.

Основные понятия, относящиеся к уравнениям

 

Равенство вида

 

, (1)

 

где  и  - некоторые функции, называют уравнением с одним неизвестным x (с одной переменной x). Это равенство может оказаться верным при одних значениях x и неверным при других значениях x.

Число a называется корнем ( или решением) уравнения (1), если обе части уравнения (1) определены при  и равенство  является верным. Следовательно, каждый корень уравнения (1) принадлежит множеству, которое является пересечением (общей частью) областей определения функций  и  и называется областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения (1).

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Если в условиях задачи не указано, на каком множестве нужно решить уравнение, то решение следует искать на ОДЗ этого уравнения.

В процессе решения часто приходится преобразовывать уравнение, заменяя его более простым (с точки зрения нахождения корней).

Есть одно правило, которое не следует забывать при преобразовании уравнений: нельзя выполнять преобразования, которые могут привести к потере корней.

Назовем преобразование уравнения (1) допустимым, если при этом преобразовании не происходит потери корней, то есть получается уравнение

 

, (2)

которое либо имеет те же корни, что и уравнение (1), либо, кроме всех корней уравнения (1), имеет хотя бы один корень, не являющийся корнем уравнения (1), посторонний для уравнения (1) корень. В связи с этим используют следующие понятия.

Уравнение (2) называется следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Уравнения (1) и (2) называются равносильными ( эквивалентными), если каждое из этих уравнений является следствием другого. Иными словами, уравнения (1) и (2) равносильны, если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2) и наоборот, каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1). Уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными.

Если уравнения (1) и (2) равносильны, то пишут  или (1)  (2), а если уравнение (2) является следствием уравнения (1), то пишут  или (1)  (2).

Отметим, что если исходное уравнение с помощью допустимых преобразований заменено другим, причем в процессе преобразования хотя бы один раз уравнение заменялось неравносильным ему следствием, то проверка найденных корней путем подстановки в исходное уравнение является обязательной.

Если же при каждом преобразовании уравнение заменялось равносильным, то проверка не нужна (не следует путать проверку с контролем вычислений).

Рассмотрим еще одно понятие, связанное с решением уравнений. Будем говорить, что уравнение (1) равносильно совокупности уравнений , (3) если выполнены следующие условия: каждый корень уравнения (1) является корнем, по крайней мере, одного из уравнений (3); любой корень каждого из уравнений (3) является корнем уравнении я (1).

Если указанные условия выполнены, то множество корней уравнения (1) является объединением множеств корней уравнений (3).

Если уравнение записано в виде

 

, (4)

 

то каждое решение этого уравнения является решением, по крайней мере, одного из уравнений

 

 (5)

 

Однако нельзя утверждать, что любой корень каждого из уравнений (5) есть корень уравнения (4).

Например, если , то  - корень уравнения , но число 3 не является корнем уравнения (4), так как функция  не определена при .

Таким образом, в общем случае нельзя утверждать, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5).

Чтобы решить уравнение (4), достаточно найти корни уравнений  и , а затем отбросить те, которые не входят в ОДЗ уравнения (4), то есть не принадлежат множеству, на котором определены функции  и .

В ОДЗ уравнения (4) это уравнение равносильно совокупности уравнений (5).

Справедливо более общее утверждение: если функция  определена при всех x таких, что , а функция  определена при всех x таких, что , то уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). [18]

 

Наиболее важные приемы преобразования уравнений

 

Все преобразования уравнений можно разделить на два типа:

равносильные, то есть преобразования, после применения любых из которых получится уравнение, равносильное исходному.

Неравносильные, то есть преобразования, после применения которых может произойти потеря или приобретение посторонних корней. [15]

Рассмотрим некоторые преобразования уравнений и выясним, к каким типам они относятся.

Перенос членов уравнения из одной части в другую, то есть переход от уравнения

 

 (1)

 

к уравнению

 

. (2)

 

Указанное преобразование приводит к равносильному уравнению, то есть (1)  (2).

В частности, .

Заметим, что здесь речь идет только о переносе членов уравнения из одной его части в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются). [18]

Приведение подобных членов, то есть переход от уравнения

 

 (3)

 

к уравнению

. (4)

 

Справедливо следующее утверждение: для любых функций , ,  уравнение (4) является следствием уравнения (3), то есть (3)  (4).

Переход от уравнения (3) к уравнению (4) является допустимым преобразованием, при котором потеря корней не возможна, но могут появиться посторонние корни.

Таким образом, при приведении подобных членов, а также при отбрасывании одинаковых слагаемых в левой и правой частях уравнения получается уравнение, являющееся следствием исходного уравнения. [18]

Например, если в уравнении

 

 

вычеркнуть в левой и правой его частях слагаемое , то получится уравнение

 

,

 

являющееся следствием исходного: второе уравнение имеет корни , , а первое - единственный корень .

Отметим еще, что если ОДЗ уравнения (4) содержится в области определения функции , то уравнения (3) и (4) равносильны.

Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию, то есть переход от уравнения (4) к уравнению

 

. (5)

 

Справедливы следующие утверждения:

если ОДЗ уравнения (4), то есть пересечение областей определения функций  и , содержится в области определения функции , то уравнение (5) является следствием уравнения (4);

если функция  определена и отлична от нуля в ОДЗ уравнения (4), то уравнения (4) и (5) равносильны. [18]

Заметим, что в общем случае переход от уравнения (5) к уравнению (4) недопустим: это может привести к потере корней.

При решении уравнений вида (5) обычно заменяют его равносильным уравнением

 

,

 

затем находят все корни уравнений

 

 и

 

и, наконец, проверяют, какие из этих корней удовлетворяют уравнению (5).]

Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень, то есть переход от уравнения

 

 (6)

 

к уравнению

 

. (7)

 

Справедливы следующие утверждения:

при любом  уравнение (7) является следствием уравнения (6);

если  (n - нечетное число), то уравнения (6) и (7) равносильны;

если  (n - четное число), то уравнение (7) равносильно уравнению

 

, (8)

 

а уравнение (8) равносильно совокупности уравнений

 

. (9)

 

В частности, уравнение

 

 (10)

 

равносильно совокупности уравнений (9). [18]

Следовательно, исходя из утверждений 1 и 2, возведение обеих частей уравнения в нечетную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня нечетной степени является равносильным преобразованием.

Исходя из утверждения 1 и 3, возведение обеих частей уравнения в четную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня четной степени является неравносильным преобразованием, при этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

Применение формулы  при  является равносильным преобразованием, при  - неравносильным. [15], [18]

Преобразования уравнений, рассмотренные в пунктах 3, 4 и 5 будут продемонстрированы на примерах ниже.

12345

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: