Операции с тензорами второго ранга
Если тензор входит в определение или доказываемую формулу линейно, то его можно для сокращения записи заменять одной диадой; далее будем этим иногда пользоваться. 1. Транспонирование и разложение тензора на симметричную и кососимметричную части. Пусть
первое слагаемое – симметричная часть, второе – кососимметричная. 2. Тензорный базис, координаты тензора. Матричный образ тензора. Будем (для простоты) использовать ортонормированный базис Разложим все векторы в произвольном тензоре
Подчеркнем, что матричный образ тензора изменяется при изменении системы координат, а, следовательно, и базиса, а сам тензор – нет; в этом и заключается, пожалуй, главное (но не единственное) преимущество тензорного «языка». 3. Скалярное и векторное умножение тензора на вектор и тензор. Единичный тензор. Скалярное произведение – самая распространенная операция. Пусть
умножение слева: В обоих случаях вектор скалярно умножается на ближайший в каждой диаде вектор, и в результате получается новый вектор; отсюда, по–видимому, следует принятое в математике определение тензора как «линейного оператора, преобразующего векторное пространство само в себя». Впрочем, и это крайне узкое определение имеет смысл.
Пусть тензор – одна диада справа на любой вектор Если Аналогично умножению на вектор вводится скалярное умножение тензора на тензор. Пусть
Единичным тензором называется тензор, в результате скалярного умножения на который слева или справа вектора (или тензора) получается тот же самый вектор (или тензор.) Разложение вектора где, согласно определению,
Обратным к тензору Векторное умножение тензора на вектор достаточно показать на одной диаде
Упражнение 1.4. Показать, что Упражнение 1.5. Показать, что Упражнение 1.6. Доказать тождество:
и, умножив его скалярно на 4.След, векторный инвариант, определитель тензора. Теорема о представлении кососимметричного тензора.
След (trace) тензора
Если тензор записан в координатном виде то Векторным инвариантом тензора
Векторный инвариант симметричного тензора, у которого Теорема 1.1. Произвольный кососимметричный тензор
где Доказательство. Поскольку Поскольку координаты Обратно, умножив Определителем (детерминантом) тензора называется
Очевидно, что определение (1.11) не зависит от системы координат, и, более того, можно доказать, что оно не зависит и от выбора тройки некомпланарных векторов
и с помощью (1.5) выражение (1.11) принимает вид определителя матрицы координат тензора в ортонормированном базисе:
Определитель тензора имеет простой геометрический смысл. Обозначим
Читайте также: I. Исходя из сущности операции. Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|