Основная формула кинематики твердого тела. Формула Эйлера

Положение твердого тела вообще и плоской фигуры в частности описывается вектором положения какой–либо точки А, называемой полюсом, и ориентацией, которую удобно описывать с помощью жестко связанной с телом тройки векторов. Для простоты возьмем ортонормированную тройку векторов, которые в отсчетном положении обозначаются , а в актуальном в момент времени . В качестве отсчетного положения чаще всего удобно взять положение в момент времени , тогда .

При плоском движении ориентация задается одним углом (рис 4.1). Введем вектор угловой скорости где единичный вектор перпендикулярен плоской фигуре, а его направление согласовано с положительным направлением отсчета угла в соответствии с принятой ориентацией пространства. Так, в правоориентированном пространстве направлен так, что с его с конца положительное направление отсчета угла видно происходящим против часовой стрелки, т. е. «на нас». Заметим, что независимо от выбора положительного направления отсчета угла вектор направлен «на нас», если фигура в данный момент времени вращается против часовой стрелки.

Запишем очевидное равенство

. (4.1)

Обозначим для краткости и разложим по актуальному базису: , где координаты постоянные величины. Разложим по отсчетному базису и продифференцируем по времени: . Нетрудно убедиться, что , , откуда следует или

(4.2)

Эта формула называется формулой Эйлера и она справедлива не только для плоского, но и для произвольного движения твердого тела.

Дифференцируя (4.1), получим с учетом (4.2) , или

. (4.3)

Формулу (4.3) будем называть основной формулой кинематики твердого тела.

Слагаемое называют вращательной скоростью точки B вокруг полюса A. Направление этого перпендикулярного к слагаемого легко получить, вращая фигуру вокруг полюса А – отсюда и его название; круговой вектор угловой скорости, которому сопоставляется прямой вектор (см. рис.4.1).