Основная формула кинематики твердого тела. Формула Эйлера
Положение твердого тела вообще и плоской фигуры в частности описывается вектором положения какой–либо точки А, называемой полюсом, и ориентацией, которую удобно описывать с помощью жестко связанной с телом тройки векторов. Для простоты возьмем ортонормированную тройку векторов, которые в отсчетном положении обозначаются
, а в актуальном в момент времени
. В качестве отсчетного положения чаще всего удобно взять положение в момент времени
, тогда
.
При плоском движении ориентация задается одним углом
(рис 4.1). Введем вектор угловой скорости
где единичный вектор
перпендикулярен плоской фигуре, а его направление согласовано с положительным направлением отсчета угла
в соответствии с принятой ориентацией пространства. Так, в правоориентированном пространстве
направлен так, что с его с конца положительное направление отсчета угла
видно происходящим против часовой стрелки, т. е. «на нас». Заметим, что независимо от выбора положительного направления отсчета угла
вектор
направлен «на нас», если фигура в данный момент времени вращается против часовой стрелки.
Запишем очевидное равенство
. (4.1)
Обозначим для краткости
и разложим
по актуальному базису:
, где координаты
постоянные величины. Разложим
по отсчетному базису
и продифференцируем по времени:
. Нетрудно убедиться, что
,
, откуда следует
или
(4.2)
Эта формула называется формулой Эйлера и она справедлива не только для плоского, но и для произвольного движения твердого тела.
Дифференцируя (4.1), получим с учетом (4.2)
, или
. (4.3)
Формулу (4.3) будем называть основной формулой кинематики твердого тела.
Рис. 4.1.Описание плоского движения
|
Слагаемое
называют вращательной скоростью точки B вокруг полюса A. Направление этого перпендикулярного к
слагаемого легко получить, вращая фигуру вокруг полюса А – отсюда и его название;
круговой вектор угловой скорости, которому сопоставляется прямой вектор
(см. рис.4.1).
Читайте также:
Воспользуйтесь поиском по сайту: