Молекулярная физика и Термодинамика.

Электростатика

Основные формулы

Молекулярная физика

1. Количество вещества или число молей

(1Ф)

где N – число молекул (атомов) вещества; – постоянная Авогадро (находится из таблицы); m – масса вещества (газа); М – молярная масса вещества (находится из таблицы).

2. Уравнение Менделеева – Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

, (2Ф)

где Р, V – давление и объем газа; ν – число молей; R – универсальная газовая постоянная (находятся из таблицы); – термодинамическая температура.

3. Зависимость давления газа от концентрации молекул n и температуры Т (уравнение состояния идеального газа)

(3Ф)

где k – постоянная Больцмана (находится из таблицы).

4. Основное уравнение молекулярно – кинетической теории газов

, (4Ф)

где средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

(5Ф)

5. Средняя квадратичная скорость молекул массой m ₀

. (6Ф)

Термодинамика

6. Молярные теплоемкости тела (газа) при постоянном объеме С _V и постоянном давлении С_Р:

, (7Ф)

где i – число степеней свободы молекулы.

7. Внутренняя энергия газа

(8Ф)

8. Первое начало термодинамики

(9Ф)

где сообщенной газу; – приращение внутренней энергии; – работа, совершенная газом против внешних сил.

9. Работа при расширении газа от объема V ₁ до объема V ₂

: (10Ф)

а) при изобарном процессе

; (11Ф)

б) при изотермическом процессе

А = ln(V ₂/ V ₁). (12Ф)

10. Работа газа при адиабатическом процессе

, или A = , (13Ф)

11. Уравнение Пуассона для адиабатического процесса

, (14Ф)

где γ = C_p / C_V – постоянная адиабаты.

12. Коэффициент полезного действия (к. п. д.) тепловой машины

(15Ф)

где – тепло, полученное рабочим телом от нагревателя; – тепло, переданное рабочим телом холодильнику.

13. К. п. д. идеального цикла Карно(теорема Карно)

(16Ф)

где и – термодинамические температуры нагревателя и холодильника.

14. Приращение энтропии для замкнутых равновесных процессов

, (17Ф)

где S ₁, S ₂ – энтропия в начальном и конечном равновесных состояниях системы; δ Q – элементарное количество теплоты; Т – температура системы, при которой она получает тепло δ Q.

Электростатика

15. Закон Кулона

(18Ф)

где F – модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов q ₁и ; r – расстояние между зарядами; – электрическая постоянная, находится из таблицы. Закон Кулона записан для вакуума (воздуха).

16. Напряженность электрического поля, создаваемого системой n точечных зарядов, равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом (принцип суперпозиции электрических полей),

, (19Ф)

где – напряженность поля, создаваемого i – м зарядом.

17. Модуль напряженности электрического поля:

а) точечного заряда

, (20Ф)

где – расстояние от заряда до точки, в которой определяется напряженность поля;

б) двух разноименно заряженных бесконечных параллельных плоскостей

где ϭ₁, ϭ₂ – поверхностные плотности зарядов. При ú σú напряженность Е = ú σú/e₀. В таком виде формула справедлива для пло­ского конденсатора, в котором расстояние между пластинами много меньше их линейных размеров;

в) равномерно заряженной бесконечно длинной нити (или цилиндра радиуса R) на расстоянии r от нити (или оси цилиндра)

, (22Ф)

где – линейная плотность заряда. Для цилиндра r > R, т. к. внутри цилиндра напряженность поля Е = 0.

18. Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов

где q ₁, q ₂ – величины зарядов; r – расстояние между зарядами. Потенциальная энергия положительная при взаимодействии одноименных зарядов и отрицательная при взаимодействии разноименных зарядов.

19. Потенциал электрического поля точечного заряда на расстоянии r от заряда

Такая же формула используется для нахождения потенциала заряженной металлической сферы радиусом R и зарядом q в точке на расстоянии r > R от центра сферы. Потенциал поля внутри и на поверхности сферы φ = q /4pe₀ R.

20. Потенциал электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности (принцип суперпозиции)

где – потенциал поля заряда .

21. Связь между напряженностью поля и потенциалом :

а) для поля, обладающего центральной или осевой симметрией,

где производная d φ/ dr, берется вдоль линии напряженности Е;

б) для однородного поля

где – расстояние между эквипотенциальными поверхностями с потенциалами φ₁ и φ₂ вдоль линии напряженности .

22. Работа, совершаемая электрическим полем по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2,

А = q (φ₁ – φ₂), (28Ф)

где (φ₁ – φ₂) – разность потенциалов между начальной 1 и конечной 2 точками перемещения.

23. Электроемкость уединенного проводника

где q – заряд, сообщенный проводнику; φ – потенциал проводника.

24. Электроемкость конденсатора

где φ₁ – φ₂ = U – разность потенциалов или напряжение между обкладками конденсатора; q – модуль заряда одной обкладки конденсатора.

25. Электроемкость проводящего шара (сферы)

где R – радиус шара; e – диэлектрическая проницаемость среды; e₀ – электрическая постоянная (находится из таблицы).

26. Электроемкость плоского конденсатора

где S – площадь одной пластины; d – расстояние между пластинами.

27. Электроемкость системы из n конденсаторов, соединенных последовательно,

28. Электроемкость системы из n конденсаторов, соединенных параллельно,

29. Энергия заряженного конденсатора

Энергию заряженного конденсатора удобно вычислять через ту из величин q или U, которая в данном процессе остается постоянной. Если заряд конденсатора не изменяется (конденсатор отключен от источника напряжения), то ; если напряжение не изменяется (конденсатор подключен к источнику напряжения), то независимо от того, как меняется электроемкость конденсатора.

 

Примеры решения задач

Пример 1. В двух теплоизолированных сосудах объемами и находится одинаковый идеальный газ при давлениях и температурах , . Сосуды соединяют трубкой. Какая температура установится в сосудах после смешивания газов?

Решение

V 1 = 3,00.10–3м3, V 2 = 5,00.10–3м3, Р 1 = 400 кПа, Р 2 = 600 кПа, Т 1 = 300 К, Т 2=400 К. Т =?

Внутренняя энергия газов, находящихся в первом и втором сосудах до их смешивания, равна (см. (8Ф)):

где число степеней свободы молекул газа; , – число молей газов в первом и втором сосудах; R = 8,31 Дж/(моль.К) – универсальная газовая постоянная (находится из таблицы). Используем уравнение Менделеева – Клапейрона (2Ф) для газовв первом и втором сосудах

Сравнивая первые и вторые формулы в равенствах (1), (2), имеем:

Общая энергия газов в сосудах до их соединения или учитывая (3), получим:

После смешивания газов (соединение сосудов трубкой) установится искомая температура и внутренняя энергия газа (8Ф) , или учитывая , получим:

Число молей и найдем из уравнений (2) и подставим их в (5). В результате получим

Сосуды теплоизолированные, поэтому (закон сохранения энергии), откуда с учетом (4) и (6), найдем искомую температуру:

Пример 2. Кислород массой находится при температуре и расширяется при постоянном давлении, при этом объем увеличивается в n = V ₂/ V ₁ = 2,0 раза. Найти количество теплоты, сообщенной газу.

Решение

m = 6,4.10–3кг, Т 1 = 300 К, V 2/ V 1 = n = 2,0. Q =?

Используем первое начало термодинамики (9Ф)

Количество теплоты, сообщенной газу, идет на приращение внутренней энергии газа и на совершение газом работы против внешних сил. Приращение внутренней энергии = U ₂ – U ₁, или, учитывая (8Ф), получим:

где = 5 – число степеней свободы молекул двухатомного кислорода;

R = 8,31 Дж/(моль.К) – универсальная газовая постоянная (находится из таблицы); – молярная масса кислорода (находится из таблицы); – приращение температуры. Работа газа при изобарном процессе (11Ф)

(3)

С учетом (2) и (3) количество теплоты (1) запишется

, (4)

где Δ Т = Т ₂ – Т ₁. Применяя уравнение Менделеева – Клапейрона (2Ф) для изобарного процесса, имеем: , откуда, с учетом условия задачи конечная температура после изобарного расширения

Тогда приращение температуры

Подставляя это выражение в (4), получим:

Учитывая условие задачи и табличные данные, найдем искомое количество теплоты:

Пример 3. Объем одного моля ( = 1) идеального газа с числом степеней свободы молекул изменяется по закону V = а / Т, где – постоянная величина. Найти количество теплоты, полученной газом в этом процессе, если его температура испытала приращение .

Решение

ν = 1, i, V = a / T, Δ T. Q =?

Количество теплоты находится из первого начала термодинамики (9Ф)

Q = Δ U + A. (1)

Приращение внутренней энергии одного моля газа = U ₂ – U ₁, или, учитывая (8Ф), имеем:

, (2)

где R = 8,31 Дж/(моль.К) – универсальная газовая постоянная (берется из таблицы). Работа газа (10Ф)

Воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона (2Ф) для одного моля газа (ν = 1)

откуда, учитывая условие задачи,

Продифференцируем условие задачи V = а / Т

Подставляя (4) и (5) в формулу (3), найдем работу:

С учетом (2) и (6) количество теплоты (1) равно

Пример 4. Два моля идеального газа находятся при температуре и охлаждаются изохорно, в результате давление газа умень­шилось в n = P ₁/ P ₂ = 2,0 раза. Затем газ изобарно расширяется так, что в конечном состоянии его температура стала равной первоначальной. Найти количество теплоты, сообщенной газу в данном процессе.

Решение

T 1 = 300 K, P 1/ P 2 = n = 2,0, ν = 2. Q =?

V 1

V 2

P 1, V 1, T 11

P 2, V 1, T 2

V

Рис. 20

1

3

2

P 2, V 2, T 1

Р

Р 2

Р 1

Решение задачи упрощается, если заданные процессы изобразить на , – диаграмме (см. рис. 20). Количество теплоты находится из первого начала термодинамики (9Ф)

Q = Δ U + A, (1)

В данной задаче на участке 1 – 2 (изохора) объем не изменяется (рис. 20) и работа = 0 (см. (10Ф), где dV = 0). Следовательно,работа совершается газом только на участке 2 – 3 при изобарном расширении А ₂₃ = А = P ₂(V ₂ – V ₁). Используем формулу работы газа для изобарного процесса (см. (11Ф)), где для нашей задаче Δ Т = Т ₁ – Т ₂ (см. рис. 20). В результате получим:

A = ν R (T ₁ – T ₂), (2)

Применяя уравнения Менделеева – Клапейрона (2Ф) к состояниям газа 1 и 2 при изохорном процессе (см. рис. 20), получим:

откуда, учитывая условие задачи,

Подставим эту формулу в уравнение (2), и найдем работу, совершенную газом в данном процессе:

Приращение внутренней энергии (см. (8Ф))

где – число степеней свободы. В данном сложном процессе начальная и конечная температуры равны (на рис. т. т. 1 и 3), следовательно, Тогда из (1) искомое количество теплоты . Учитывая формулу (3), получим:

Пример 5. Водород массой m = 20,0 г находится при температуре = 300 К. Его объем при адиабатическом процессе увеличился в n = V ₂/ V ₁ = 5,00 раз, затем при изотермическом процессе уменьшился до прежнего значения. Найти: температуру в конце адиабатического расширения; работу газа и приращение внутренней энергии при этих процессах.

 

Решение

Н2, m = 20,0.10–3 кг, Т 1 = 300 К, V 2/ V 1 = n =5,00. T 2 =? A 1, A 2 =? Δ U 1, Δ U 2 =?

Процессы расширения и сжатия газа изобразим графически в системе координат (см. рис. 21). Параметры газа можно определить из уравнений адиабатического и изотермического процессов. При адиабатическом процессе температура и объем газа в состояниях 1 и 2 связаны между собой уравнением Пуассона (14Ф)

откуда, учитывая условие задачи, получим:

Рис. 21

адиабата

изотерма

где постоянная адиабаты . Для молекулярного водорода (число степеней свободы = 5) молярная теплоемкость при постоянном давлении (7Ф) , где R = 8,31 Дж/(моль.К) – универсальная газовая постоянная (находится из таблицы). Молярная теплоемкость при постоянном объеме , тогда γ = 1,4. Подставляя это значение γ в (1), найдем температуру: = 158 К. Работа газа при адиабатическом расширении (см. (13Ф), где число молей ν = m / M)

Учли, что молярная масса водорода кг/моль (находится из таблицы). Работа газа при изотермическом процессе (12Ф) для нашей задачи (см. рис. 21)

Учитывая условие задачи и выражение (1), найдем работу при изотермическом сжатии:

Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается внешними силами. Для определения приращения внутренней энергии газа при адиабатическом процессе воспользуемся первым началом термодинамики (9Ф)

В данном процессе = 0, и приращение внутренней энергии при адиабатическом расширении с учетом (2) равно

Δ U ₁ = – A ₁ = – 29,5 кДж.

При изотермическом процессе Т = const и = 0. Следовательно,

Пример 6. У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура нагревателя в n = 1,6 раза больше температуры холодильника . За один цикл машина производит полезную работу А = 12 кДж. Какая работа за цикл затрачивается внешними силами на изотермическое сжатие рабочего тела?

Решение

Т 1/ Т 2 = n = 1,6, A = 12 кДж. =?

Воспользуемся теоремой Карно: коэффициент полезного действия (к. п. д.) тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температур нагревателя и холодильника и не зависит от природы рабочего тела и устройства тепловой машины (см. (16Ф))

Учитывая условие задачи, получим коэффициент полезного действия машины:

К. п. д. цикла Карно запишем через работу и тепло , переданное рабочему телу от нагревателя: , откуда с учетом (2)

Работа находится через и тепло , переданное от рабочего тела холодильнику,

Откуда, учитывая (3), имеем:

Применим к изотермическому сжатию первое начало термодинамики (9Ф) в виде:

где Q –тепло, переданное рабочему телу. В нашей задаче Q = – Q ₂, т. к. тепло отнимается от тела и передается холодильнику; – приращение внутренней энергии рабочего тела. У нас = 0, т. к. Т = const (см. (8Ф)); – искомая работа внешних сил над рабочим телом. В результате из (5) имеем . Используя (4), найдем:

Пример 7. Водород совершает цикл Карно. Найти к. п. д. цикла, если при адиабатическом расширении: а) объем газа увеличивается в n = V ₂/ V ₁ = 2,0 раза; б) давление уменьшается в n = Р ₁/ Р ₂ = 2,0 раза.

Решение

;

а) Воспользуемся формулой к. п. д. цикла Карно (16Ф)

где – температура нагревателя и холодильника. Используем для адиабатического процесса уравнение Пуассона (14Ф) в виде:

откуда имеем

где = 1,4 – постоянная адиабаты для двухатомного водорода. По условию задачи . Тогда из (2)

Подставляя это выражение в (1), найдем к. п. д. цикла Карно при увеличении объема газа в n = 2,0 раза

б) Запишем уравнение Пуассона в следующем виде (см. (14Ф)):

откуда

,

или, учитывая условие задачи, получим:

С учетом этого выражения, из (1) найдем к. п. д. цикла, когда давление уменьшается в n = 2,0 раза

Пример 8. Один моль гелия при изобарном расширении увеличил свой объем в = V ₂/ V ₁ = 4,0 раза. Найти приращение энтропии.

Решение

ν = 1 моль, V 2/ V 1 = n = 4,0, P = const. Δ S =?

Приращение энтропиинаходитсяиз второго нача­ла термодинамики для равновесных процессов (17Ф)

, (1)

где δ Q – элементарное количество теплоты, находится из первого начала термодинамики (9Ф), записанного в дифференциальной форме,

Приращение внутренней энергии для одного моля газа (см. (8Ф))

 

где – универсальная газовая постоянная (находится из таблицы). Элементарная работа газа

Продифференцируем уравнение состояния идеального газа (2Ф) для одного моля (ν = 1) с учетом того, что процесс изобарный: . Тогда (4) запишется:

Подставляя (3) и (5) в уравнение (2), получим:

Подставим это выражение в (1) и проинтегрируем:

где – число степеней свободы атомов гелия. Применяя уравнение Менделеева – Клапейрона (2Ф) к состояниям газа при изобарном процессе, получим с учетом условия задачи:

Используя это соотношение, из (6) найдем приращение энтропии:

Пример 9. Один моль двухатомного идеального газа находится при температуре = 300 К и сжимается от объема V ₁ до объема V ₂ = V ₁/2 один раз изотермически, а другой – адиабатически. Найти приращение энтропии и конечную температуру в обоих процессах.

Решение

Для нахождения приращения энтропии используем второе начало термодинамики (17Ф)

(1)

Элементарное количество теплоты находится из первого начала термодинамики (9Ф)

δ Q = dU + δ A, (2)

где dU – приращение внутренней энергии. При изотермическом процессе dU = 0 (см. (8Ф)). Элементарная работа газа

δ А = PdV. (3)

Из уравнения Менделеева–Клапейрона (2Ф), записанного для одного моля (ν = 1), найдем: P = RT / V, и подставим это выражение в (3). В результате получим

(4)

Учитывая dU = 0, из (2) и (4) имеем:

Подставляя это выражение в (1), найдем приращение энтропии при изотермическом сжатии:

Учитывая условие задачи V ₂ = V ₁/2 и табличное значение универсальной газовой постоянной R = 8,31 Дж/(моль.К), получим искомое приращение энтропии:

Δ S ₁ = – R 2 = – 5,76 Дж/К.

Знак «минус» означает, что энтропия при этом процессе уменьшается, так как макросистема не является замкнутой.

Для адиабатического процесса , тогда из (1) видно, что , т. е. энтропия при данном процессе остается постоянной.

Температура при изотермическом процессе не изменяется, следовательно, по условию задачи конечная температура в этом процессе Т ₂ = = 300 К. Для адиабатического процесса используем уравнение Пуассона (14Ф) в виде: откуда

Постоянная адиабаты = C_P / С_V. Используя формулы молярных теплоемкостей C_P и С _V (7Ф), найдем: γ = (i + 2)/ i. В задаче дан двухатомный газ, для которого число степеней свободы i = 5, тогда γ = 1,4. Учитывая условие задачи V ₂ = V ₁/2, получим из (5):

Таким образом, конечная температура больше при адиабатическом сжатии.

Пример 10. Точечные закрепленные заряды q ₁ = 40 нКл и q ₂ = – 10 нКл находятся на расстоянии r = 10 cм друг от друга. Где следует поместить третий заряд q ₃, чтобы он находился в равновесии? При каком знаке заряда q ₃ равновесие будет устойчивым?

Решение

q 1 =40 нКл, q 2 =– 10 нКл, r = 10 cм. х =?

Равновесие заряда возможно, если векторная сумма сил, действующих на него, рана нулю. Следовательно, для нашего случая на заряд действуют две силы, равные по модулю и противоположные по направлению или

F ₁ = F ₂.(1)

Учитывая величины и знаки зарядов q ₁ и q ₂, легко сообразить, что условие (1) выполняется в точке C, находящейся на прямой, проходящей через эти заряды и расположенной справа от заряда q ₂ (см. рис. 22, где заряд q ₃ > 0).

С

Рис. 22

Рис. 23

С

Используя закон Кулона (18Ф) и обозначения на рис. 22, запишем модули сил взаимодействия заряда q ₃ с зарядами q ₁ и q ₂ (см. рис. 22):

(2)

С учетом этих формул, уравнение (1) примет вид:

Откуда, учитывая условие задачи, получим: х = r = 10 см. Нашли положение точки (т. С на рис. 22), в которой заряд q ₃ находится в равновесии. Если, при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в прежнее положение, то равновесие называется устойчивым. Найдем знак заряда q ₃, при котором равновесие будет устойчивым.

Возьмем отношение сил Кулона (2)

При смещении заряда из положения равновесия (т. C на рис. 22) вправо, расстояние x увеличивается,

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: