 |
Спектральный анализ периодических сигналов
|
|
|
|
В соответствии со спектральным способом анализа прохождения сигналов через линейные цепи любой случайный сигнал s (t) можно представить в виде бесконечной суммы элементарных аналитически однотипных детерминированных сигналов 
:
Подавая на вход линейной цепи (рис. 1.14), коэффициент передачи которой равен 
, элементарный детерминированный сигнал, можно найти элементарный отклик цепи, то есть сигнал на выходе цепи.
Рис.2.3. К определению сигнала на выходе линейной цепи.
Сигнал на выходе линейной цепи равен
(2.9)
Поскольку для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, то результирующий отклик будет равен:
(2.10)
Функции, описывающие элементарные сигналы, называются базисными функциями. Представление сигнала базисными функциями упрощается, если они являются ортогональными и ортонормированными.
Набор функций 
называется ортогональным, если в интервале от 
до 
при 
(2.11)
и ортонормированным, если для всех 
выполняется условие
. (2.12)
Ортогональность базисных функций, с помощью которых представляется исходный сигнал 
, является гарантией того, что представление сигнала может быть сделано единственным образом. Условию ортогональности отвечают гармонические функции кратных частот, а также функции Уолша, которые на отрезке своего существования от 
до 
принимают лишь значения, равные 
1, дискретные сигналы Баркера и некоторые другие функции. Спектральный метод анализа сигналов основан на преобразованиях Фурье и состоит в замене сложной функции времени, описывающей сигнал, суммой простых гармонических сигналов, образующих частотный спектр этого сигнала. Знаменитый французский физик и математик Ж. Б. Фурье (1768 – 1830 г.г.) доказал, что любое изменение во времени некоторой функции можно аппроксимировать в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть ток или напряжение в электрической цепи.
|
|
|
Рассмотрим вначале представление периодического электрического сигнала (рис. 2.4), отвечающего условию
, (2.13)
где: 
- период сигнала; 
=1,2,3,….
Рис. 2.4. Периодический сигнал
Представим этот сигнал бесконечным тригонометрическим рядом:
. (2.14)
Этот ряд называется рядом Фурье.
Возможна запись ряда Фурье в другом виде:
, (2.15)
где: 
- модуль амплитуд гармоник;
- фазы гармоник;
- круговая частота;
- коэффициенты косинусоидальных составляющих; 
- коэффициенты синусоидальных составляющих; 
- среднее значение сигнала за период (постоянная составляющая).
Отдельные слагаемые рядов называют гармониками. Число является номером гармоники.Совокупность величин 
в ряде (2.15) называют спектром амплитуд, а совокупность величин 
- спектром фаз.
Ниже на рис. 2.5 представлены амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Вертикальные отрезки амплитудного спектра представляют амплитуды гармоник и называются спектральными линиями.
Рис 2.5. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала
Таким образом, спектр периодического сигнала – линейчатый. Каждый периодический сигнал имеет вполне определенные амплитудный и фазовый спектры.
Сумма ряда (2.15) является бесконечной, но, начиная с некоторого номера, амплитуды гармоник настолько малы, что ими можно пренебречь и практически реальный периодический сигнал представляется функцией с ограниченным спектром. Интервал частот, соответствующий ограниченному спектру, называется шириной спектра.
Если функция 
, описывающая периодический сигнал, является четной, то сумма ряда (2.14) будет содержать только косинусоидальные составляющие. Если - нечетная функция, то сумма будет содержать только синусоидальные составляющие.
|
|
|
Возможно также представление периодического сигнала в виде комплексного ряда Фурье:
, (2.16)
где:
- комплексные амплитуды спектра, содержащие информацию, как об амплитудном, так и о фазовом спектрах.
После подстановки значений 
и 
, получим:
(2.17)
Если подставить полученное значение 
в ряд (1.29), то он обращается в тождество. Таким образом, периодический электрический сигнал можно задавать либо функцией времени 
, либо комплексной амплитудой 
спектра.
|
|
|
