 |
Тестирование гипотез общего линейного вида о параметрах регрессии.
|
|
|
|
Для оценивания регрессии объекта Equation рассчитываются следующие показатели качества регрессионного уравнения:
· остаточная сумма квадратов регрессии (Sumsquaredresid),
· коэффициент детерминации R2 (R-squared),
· скорректированный (на число регрессоров)
· коэффициент детерминации 2 adjR (AdjustedR-squared),
· оценка среднеквадратического отклонения ошибки регрессии (S.E. ofregression),
· среднеквадратические отклонения для коэффициентов регрессии se(i) (Std. Error),
· фактические значения t -статистик Стьюдента для каждого коэффициента регрессии (t-Statistic),
· p -значения (фактические вероятности принятия нулевой гипотезы) для каждого коэффициента регрессии (Prob),
· значение статистики Фишера F (F-statistic),
· p -значения (фактические вероятности принятия нулевой гипотезы) для статистики Фишера F (Prob(F-statistic)).
Величина коэффициента детерминации R2 имеет смысл только в том случае, когда константа включена в состав регрессоров, и может быть интерпретирована как доля вариации зависимой переменной, объясненная вариацией независимых переменных (факторов) регрессионного уравнения. Поскольку проверка гипотез основана на предположении о нормальности распределения ошибок регрессионного уравнения, необходимо проверить его выполнение для полученного вектора остатков регрессии.
Для проверки нулевой гипотезы H0 о равенстве нулю некоторого коэффициента регрессионного уравнения (H0: i =0) необходимо сравнить фактическое значение статистики, которое указывается в колонке t -Statistic в окне результатов оценивания регрессии объекта Equation, с критическим значением t -статистики Стьюдента для выбранного уровня значимости α, то есть со значением двусторонней (1-α) квантили t -статистики Стьюдента с n - k степенями свободы.
|
|
|
Величина α характеризует допустимый уровень вероятности ошибиться, отвергнув нулевую гипотезу, когда она верна. В теории проверки статистических гипотез величину α называют ошибкой первого рода.
Если фактическое значение t -статистики Стьюдента больше критического значения статистики, то нулевая гипотеза отвергается для данного уровня значимости α, иначе нулевая гипотеза не может быть отвергнута для данного уровня значимости α
В случае отвержения нулевой гипотезы для уровня значимости α говорят, что коэффициент β i регрессионного уравнения значим на уровне значимости α (или, говорят, что оценка коэффициента β i значимо отличается от нуля), и соответствующий ему регрессор объясняет вариацию зависимой переменной. В противном случае говорят, что коэффициент незначим на уровне значимости α
Второй способ проверки гипотезы – сравнить p -значение (фактическую вероятность принятия нулевой гипотезы данного коэффициента регрессии) с выбранным уровнем значимости α Если выполняется условие p <α, то нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости α, иначе нулевая гипотеза не может быть отвергнута для данного уровня значимости α.
3. Проверка статистической гипотезы о значимости уравнения в целом. Для проверки гипотезы о значимости уравнения в целом необходимо воспользоваться статистикой Фишера F. В этом случае нулевая гипотеза имеет вид H0: { β1 = β 2 =…=0 }, то есть тестируется одновременное равенство нулю всех коэффициентов регрессионного уравнения кроме константы регрессии β 0. Необходимо сравнить фактическое значение статистики Фишера F, возвращаемое Eviews (F-statistic), и сравнить его с критическим значением статистики Фишера F для выбранного уровня значимости α, то есть со значением (1-α) квантили статистики Фишера с (k -1, n-k) степенями свободы.
|
|
|
Если фактическое значение статистики Фишера F больше критического значения, то нулевая гипотеза отвергается для данного уровня значимости α, иначе нулевая гипотеза не может быть отвергнута для данного уровня значимости α.
В случае отвержения нулевой гипотезы для уровня значимости α говорят, что регрессионное уравнение значимо в целом на уровне значимости α и вариация независимых переменных объясняет вариацию зависимой переменной в регрессионном уравнении. В противном случае говорят, что уравнение в целом незначимо на уровне значимости α и включенные в регрессию факторы не улучшают прогноз для зависимой переменной по сравнению с ее средним значением.
Eviews не возвращает критического значения статистики Фишера F в окне результатов оценивания регрессии, но соответствующая квантиль может быть найдена с использованием встроенной функции @qfdist. Введем в окне ввода команд строку show @qfdist(v,p1,p2), где v =1-, p1 = k - 1, p2 = n - k. Команда show показывает на экран значение функции @qfdist.
4. Проверка статистической линейной гипотезы общего вида.
Для проверки гипотезы воспользуемся тестом Вальда (WaldTest). Вспомним, что коэффициенты регрессионного уравнения в Eviews имеют обозначения C(1) (коэффициент β 1 при первом регрессоре), C(2) и так далее, последним коэффициентом будет константа регрессии. Это справедливо, если в спецификации регрессионного уравнения при его оценивании служебная переменная С указана в конце спецификации.
Для работы с тестом Вальда выберем в меню объекта Equation пункт ViewCoefficientTests, Wald – CoefficientRestrictions. В диалоговом окне WaldTest необходимо ввести линейные ограничения на коэффициенты уравнения регрессии, разделяя их запятой. Помните, что ограничения должны быть линейно независимыми, а количество вводимых ограничений должно быть строго меньше количества оцениваемых переменных. Для парной регрессии из рассмотренного выше примера п.2 занятия 4 можно ввести только одно 32 ограничение, например, С(1)+2 С(2)=7, что соответствует записи β 1 +2 β 0 =7. Результат тестирования возвращается в окне Equation, которое содержит имя уравнения, нулевую гипотезу и значения статистик напротив текста F-statistic и Chi-square (используются два различных варианта теста со статистиками Фишера и 2) вместе с соответствующими p -значениями. Будет ли нулевая гипотеза отвергнута или принята, зависит от выбранного уровня значимости при тестировании статистической гипотезы.
|
|
|
МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ
Еще одной серьезной проблемой при построении моделей множественной линейной регрессии по МНК является мультиколлинеарность - линейная взаимосвязь двух или нескольких объясняющих переменных. Причем, если объясняющие переменные связаны строгой функциональной зависимостью, то говорят о совершенной мультиколлинеарности. На практике можно столкнуться с очень высокой (или близкой к ней) мультиколлинеарностью - сильной корреляционной
зависимостью между объясняющими переменными. Причины мультиколлинеарности и способы ее устранения анализируются ниже.
10.1. Суть мультиколлинеарности
Мультиколлинеарность может быть проблемой лишь в случае множественной регрессии. Ее суть можно представить на примере совершенной мультиколлинеарности.
Пусть уравнение регрессии имеет вид
Y=β0 + β1X1 + β 2X2 + ε (10.1)
Пусть также между объясняющими переменными существует строгая линейная зависимость:
X2 = Yo + Y1X1. (10.2)
Подставив (10.2) в (10.1).получим:
Y = β0+ β1X1 + β2(Yo + Y1Xi) + e
или Y = (β0 + β2Yo) + (β1+ β2Y1)X1 + e.
Обозначив β0 + β2Y0 = a, β1 + β2Y1 = b. получаем уравнение парной линейной регрессии:
Y = a + b*X1 + ε. (10.3)
По МНК нетрудно определить коэффициенты а и Ь. Тогда получим систему двух уравнений:ув0 + в2у0 =а, (10,4) |в1 +в2у1 = Ь.
В систему (10.4) входят три неизвестные β0, β1, β2 (коэффициенты Yo н Y1 определены в (10.2)). Такая система в подавляющем числе случаев имеет бесконечно много решений. Таким образом, совершенная мультиколлинеарность не позволяет однозначно определить коэффициенты регрессии уравнения (10.1) и разделить вклады объясняющих переменных X, и Х: в их влиянии на зависимую переменную Y. В этом случае невозможно сделать обоснованные статистические выводы об этих коэффициентах. Следовательно, в случае мультиколлинеарности выводы по коэффициентам и по самому уравнению регрессии будут ненадежными.
|
|
|
Совершеннаямультиколлинеарность является скорее теоретическим примером. Реальна же ситуация, когда между объясняющими переменными существует довольно сильная корреляционная зависимость, а не строгая функциональная. Такая зависимость называется несовершенной мулътиколлинеарностью. Она характеризуется высоким коэффициентом корреляции р между соответствующими объясняющими переменными. Причем, если значение р по абсолютной величине близко к единице, то говорят о почти совершенной мультиколлинеарности. В любом случае мультиколлинеарность затрудняет разделение влияния объясняющих факторов на поведение зависимой переменной и делает оценки коэффициентов регрессии ненадежными.
|
|
|
