 |
Числовые характеристики случайных величин
|
|
|
|
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, характеризующие отдельные существенные свойства закона распределения случайной величины. Такие числа принято называть числовыми характеристиками случайной величины.
Важнейшими среди них являются характеристики положения: математическое ожидание (центр распределения случайной величины), мода, медиана; характеристики рассеяния: дисперсия (отклонение значений случайной величины от ее центра), среднее квадратическое отклонение.
Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины X, имеющей закон распределения 
, 
, называется число, равное сумме произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.
Математическое ожидание обозначается через MX (или: М [ Х ], М (Х), ЕХ, 
, 
). Таким образом, по определению
 .
| (5.9) |
Если число возможных значений случайной величины X бесконечно (счетно), то
 ,
| (5.10) |
причем ряд в правой части предполагается сходящимся. В противном случае случайная величина X не имеет математического ожидания.
Формулы (5.9) и (5.10) можно записать в виде
.
Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно является средним значением случайной величины. Действительно, т.к. 
, то
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности 
, называется число
 .
| (5.11) |
Интеграл в правой части равенства (5.11) предполагается абсолютно сходящимся, т.е.
.
В противном случае непрерывная случайная величина X не имеет математического ожидания.
|
|
|
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной, т.е.
.
2. Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания, т.е.
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.
4. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю т.е.
Разность 
называется отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания и обозначается символом 
:
Случайная величина также называется центрированной случайной величиной.
5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. если Х и Y независимы, то
Перечисленные свойства справедливы и для непрерывных случайных величин.
Дисперсия
Дисперсией (рассеянием) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.
Обозначается дисперсия через DX (или D [ X ], 
, D (X)). Таким образом, по определению
 ,
| (5.12) |
Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины X относительно ее математического ожидания. Из определения дисперсии следуют формулы для ее вычисления:
- для дискретной случайной величины
 ,
| (5.13) |
- для непрерывной случайной величины
 .
| (5.14) |
На практике дисперсию удобно находить по формуле:
 .
| (5.15) |
Это позволяет записать формулы для ее вычисления (5.13) и (5.14) в другом виде:
| (5.16) |
 .
| (5.17) |
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянной равна нулю, т.е.
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат, т.е.
.
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. если X и Y независимы, то
.
4. Дисперсия случайной величины не изменится, если к этой случайной величине прибавить постоянную, т.е.
|
|
|
.
5. Если случайные величины X и Y независимы, то
.
Свойства дисперсии для дискретных случайных величин, остаются справедливыми и для непрерывных случайная величина
|
|
|
