 |
Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили
|
|
|
|
Модой дискретной случайной величины X называется ее значение, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, обозначается через 
.
Для непрерывной случайной величины - точка максимума (локального) плотности 
.
Если мода единственна, то распределение случайной величины называется унимодальным, в противном случае - полимодалъным (рис. 5.4).
Рис. 5.4.
Медианой 
непрерывной случайной величины X называется такое ее значение 
, для которого
 ,
| (5.19) |
т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина X меньше или больше (рис. 5.4).
С помощью функции распределения 
равенство (5.19) можно записать в виде
.
Отсюда
.
Для дискретной случайной величины медиана обычно не определяется.
Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями следующих более общих понятий - моментов случайных величин.
Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание k -й степени этой величины, обозначается через 
.
Таким образом, по определению
.
Для дискретной случайной величины начальный момент выражается суммой:
,
а для непрерывной случайной величины - интегралом:
.
В частности, 
, т.е. начальный момент 1-го порядка есть математическое ожидание.
Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины 
, обозначается через 
.
Таким образом, по определению
.
В частности, 
, т.е. центральный момент 2-го порядка есть дисперсия; 
(свойство 4 математического ожидания)
Для дискретной случайной величины:
,
а для непрерывной случайной величины:
.
Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты:
действительно:
|
|
|
),
,
и т.д.
Среди моментов высших порядков особое значение имеют центральные моменты 3-го и 4-го порядков, называемых соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса.
Коэффициентом асимметрии («скошенности») А случайной величины X называется величина
.
Если А > 0, то кривая распределения более полога справа от (рис. 5.5а).
Если А < 0, то кривая распределения более полога слева от (рис. 5.5б).
а) б)
Рис. 5.5
Коэффициентом эксцесса («островершинности») Е случайной величины X называется величина
Величина Е характеризует островершинность или плосковершинность распределения. Для нормального закона распределения А = 0 и Е = 0; остальные распределения сравниваются с нормальным: если Е > 0 - более островершинные, а распределения «плосковершинные» имеют Е < 0 (рис. 5.6).
Рис. 5.6.
Кроме рассмотренных числовых характеристик случайной величины, в приложениях используются так называемые квантили.
Квантилью уровня р случайной величины X называется решение уравнения
,
где р - некоторое число, 0 < р < 1.
Квантили 
, 
и 
имеют свои названия: нижняя квантиль, медиана (
), верхняя квантиль соответственно. Они делят числовую прямую на 4 части, вероятности попадания в которые равны 0,25 (рис. 5.7).
Рис. 5.7.
Производящая функция
Нахождение важнейших числовых характеристик дискретных случайных величин с целыми неотрицательными значениями удобно производить с помощью производящих функций.
Пусть дискретная случайная величина X принимает значения 0,1, 2,..., k,… с вероятностями 
Производящей функцией для дискретной случайной величины X называется функция вида
 ,
| (5.20) |
где z - произвольный параметр, 0 < z ≤ 1.
Отметим, что коэффициентами степенного ряда (5.20) являются вероятности закона распределения дискретной случайной величины X.
Дифференцируя по z производящую функцию, получим
.
Тогда
,
т.е.
 .
| (5.21) |
Взяв вторую производную функции 
и положив в ней z =1, получим:
|
|
|
,
,
где 
и 
- начальные моменты соответственно 2-го и 1-го порядков (
, 
). Тогда
т.е.
 .
| (5.22) |
Полученные формулы (5.21) и (5.22) используются для нахождения математического ожидания и дисперсии рассматриваемого распределения.
|
|
|
