 |
Решение задач на движение.
|
|
|
|
Предположим, вы неплохо поняли, как решать задачи по математике. Умеете выкачивать всю спрятанную информацию из задачи и записывать её в виде математических выражений с иксом. Но задачки на движение – не идут… Ну не хватает информации, и всё тут! Почему? А вот почему!
Для успешного решения задач на движение нужно кое-что твёрдо держать в голове. А именно – формулу-ключ, в которой связаны путь, время и скорость. В любой задаче дают кучу информации, но эту формулу – никогда! Это должно быть ваше знание! Кстати, эта формула нужна и в компетентностных задачах, и в обыденной жизни.
Чтобы эту формулу-ключ хорошо и осмысленно запомнить, достаточно ответить самому себе на простой вопрос: «Если я еду со скоростью 60 километров в час, какое расстояние я проеду за 2 часа?». Очевидно, умножив 60 на 2, получим 120 километров. Вот вы и запомнили нехитрую формулу скорости, пути, времени:
S - это пройденный путь, или расстояние,
V – скорость движения,
t – время движения.
Всё. Это вся посторонняя информация (из физики), которая необходима для решения задач на движение. Всё остальное – в тексте задачи.
Зная эту формулу (для расстояния), вы можете легко вывести из неё формулу для скорости, или времени. Ведь эта формула – тоже уравнение. Стало быть, к ней применимы тождественные преобразования. Если нас интересует не путь, а скорость – поделим обе части формулы на t, получим:
V = S/t
Если интересует время, делим на V:
t = S/V
Запомнили? Если считать задачу замком, то эти формулы – ключи, который должен быть всегда при вас. Ибо без ключа замок открывать неудобно…
Что нам даёт этот ключ? Он нам даёт дополнительную информацию! Которой, как раз, и не хватает. Скажем, в задаче даны скорость и расстояние. А нам позарез нужно время. Так найти время из формулы-ключа за 6 секунд можно! То есть, можно считать, что время тоже дано. Если формулу-ключ помните. И вообще, если даны любые две величины из формулы, можно считать, что и третья величина известна. Вот и всё.
|
|
|
Как составить уравнение задачи на движение? Это и есть самое интересное. Лучше это показать на примере.
Итак, задача.
«В 10:00 туристы на лодке поплыли из пункта А вниз по течению реки. Пройдя 12 километров, туристы остановились для отдыха на 3 часа. Затем они вернулись в пункт А в 18:00. Определить (в км/час) собственную скорость лодки, если скорость течения реки 1 км/час».
Будем разбирать (и решать!) задачу по шагам.
Шаг первый.
Осмысливаем задачу. Это, понятно, задача на движение. Выясняем, всё ли нам понятно в тексте. Сомнения может вызвать выражение «собственная скорость лодки». Что это такое? После десяти секунд глубоких размышлений соображаем, что по течению лодка плывёт быстро, а против течения – медленно. Ну, если грести одинаково, естественно… Значит, всё честно. Собственная скорость – это скорость лодки сама по себе. Безо всяких течений. Иногда так и пишут: найти скорость лодки в стоячей воде.
Всё остальное, вроде, понятно и логично.
Шаг второй.
Нужно что-то взять за икс. Что брать за икс? В простых задачах за икс, чаще всего, можно брать вопрос задачи. Вот чего надо узнать в задаче, вот это и будет иксом! Но это не обязаловка. Иногда вопрос задачи просто неудобно брать за икс. Например, в этой задачке вопрос мог быть поставлен так: «На сколько скорость лодки больше скорости течения реки?». Брать этот вопрос за икс неудобно, куда проще найти скорость лодки, а потом отнять от неё скорость реки. То есть, появится одно дополнительное действие, которое потом надо не забыть сделать!
Но! Если вы не знаете, что брать за икс, берите вопрос задачи! Работайте с этим неизвестным, а если ничего не выходит, уж тогда попробуйте взять что-нибудь другое. С практикой придёт понимание. И вопрос, что брать за икс, будет вам казаться смешным…
|
|
|
Итак, аккуратно записываем:
х – собственная скорость лодки.
Шаг третий.
Расписываем текст задачи в математическом виде. Это гордо называется составлением математической модели! Вот просто читаем задачу, и всё, что можем, всю информацию из задачи записываем формулами с описанием. По порядку, вразброс, как угодно! Начиная с информации, в которой уверены железно. Что-то может и не пригодится для решения, ну и что? Не похудеем, поди… При этом икс считаем вполне известной величиной.
Прочитайте ещё раз текст задачи. Даже толком не разобравшись во всех этих временах и расстояниях, можно железно выцарапать из условия бесспорную математическую информацию:
Если
х – скорость лодки,
то
х+1 – скорость лодки по течению,
а
х-1 – скорость лодки против течения.
Ну вот, начало положено! Возможно, это и не пригодится, но часть информации мы с задачи скачали!
Опять читаем задачу. Да-да! Читаем опять, причём очень внимательно. Из первого предложения записать ничего нельзя. А вот во втором есть зацепка. Это слова: «Пройдя 12 километров, туристы остановились …». Тут надо вспомнить про ключевую формулу скорости! Путь у нас есть, - это 12 км, скорость лодки по течению есть, - это х+1 км, что можно найти? Правильно, время! Если мы знаем путь и скорость, то мы знаем и время. Вспоминая, что t = S/V, можно записать время лодки по течению. Это будет
Так и пишем:
12/(х+1) – время лодки по течению.
Ну и сразу, до кучи, пишем:
12/(х-1) – время лодки против течения.
Ещё кое-что скачали. Процесс идёт!
Ещё раз обращаю ваше внимание на один интересный момент. Возможно, мы даже не знаем, нужно нам это время по течению, против течения… Но мы упорно и въедливо выкачиваем всю возможную информацию из текста задачи!
Снова читаем задачу. Про лодку мы уже всё как бы знаем. С какой скоростью она плыла туда, обратно, сколько времени затратила. Из условий задачи мы пока никак не использовали информацию по временам. Что ж, займёмся временами. Знаем время выхода лодки и время возвращения. Что можно выяснить из этих данных? Верно! Время всего путешествия!
|
|
|
18 – 10 = 8. Общее время 8 часов. Из чего складывается это время? Время на дорогу туда, это у нас 12/(х+1), стоянка, это у нас 3 часа, и время на дорогу обратно, это у нас 12/(х-1). Вот и всё. Всё, потому что осталось просто записать уравнение.
Шаг четвёртый.
Записываем уравнение:
Вот так составилось уравнение. Осталось его решить – и заслуженные баллы – в кармане. Как решать дробные уравнения? Сходите по ссылке – там всё подробно описано.
Дорешайте задачу, чего уж там… У вас должно получиться
х = 5км/час.
В процессе решения задач на движение вы можете столкнуться с неожиданным фактом. Дробное уравнение после преобразований может (как здесь) стать квадратным. И будет иметь два корня! Два правильных (для уравнения) ответа. Какой ответ брать? Тот, который логичен для задачи. Второй корень будет отрицательным. Что никак не стыкуется ни с лодкой, ни с задачей. Мы его просто назовём посторонним и выбросим. Такое бывает сплошь и рядом.
И ещё одни грабли. Внимательно следите, чтобы в задаче все данные измерялись одними величинами! Если уж километры – то и все пути, расстояния должны быть в километрах, а не сантиметрах или верстах. Если часы – то везде часы, а не минуты или сутки! Прикиньте, если в этой задаче стоянка будет дана в минутах – 180 минут? Если в уравнение вставить 180 (минут) вместо 3 (часов), всё пойдёт наперекосяк. Надо всё приводить к единым единицам измерений.
И ещё один полезный совет. При решении задач на движение, рисуйте картинки. Особенно, когда текст задачи большой и сразу в голове не укладывается. Чаще всего это нужно делать в задачах, где кто-то кого-то догоняет, встречается, или болтается между пунктами А и В туда и обратно… Рисуем пункты А и В, отмечаем точки встречи, остановок и т.п. На картинке сразу видно, какие отрезки пути можно просчитать. Картинка реально облегчает составление математической модели.
Итак, при решении задач на движение, используйте
Практические советы:
1. Записываем формулу-ключ: S = Vt
2. Определяемся с иксом, расписываем через икс все данные. Особое внимание на величины, входящие в формулу-ключ: путь, скорость, время. Эти величины – основа решения задач на движение. Стараемся снять всю возможную информацию с задачи.
|
|
|
3. До составления уравнения, приводим (если надо) все величины задачи к единым единицам измерения.
4. Записываем уравнение. Если никак не записывается, читаем задачу. Скорее всего, вы использовали не все данные из задачи или не увидели в тексте подсказки. Она, подсказка, всегда есть.
5. Решаем уравнение. При получении двух корней – за ответ берём приличный корень, несусветный и левый – отбрасываем.
Задача на скачивание информации и использование формулы-ключа.
«Коля и Миша договорились встретиться в боулинг-клубе в 19:00. Миша вышел из дома в 18.30 и энергичным шагом со скоростью 6 км/час дошёл до места точно в срок. Коля живёт на один километр дальше от клуба, чем Миша. Поэтому хотел выйти пораньше. Но, как обычно, засиделся «Вконтакте»… Выскочил впопыхах и побежал… Пробежав половину пути до клуба, Коля понял, что опаздывает. Если будет бежать с той же скоростью. Как настоящий друг и джентльмен, он хотел позвонить Мише, предупредить… Но увидел, что забыл телефон дома. Повернулся и побежал домой. С удвоенной скоростью 16 км/час. Прибежал домой ровно в 19:00. Позвонил Мише и сообщил, что будет через 10 минут. Но опять ошибся и прибежал через 30 минут.»
Вопрос к задаче будет вот какой.
Какую информацию можно получить из этого объёмистого текста? Я утверждаю, что из этого условия можно точно выяснить:
1. На каком расстоянии от клуба живёт Коля.
2. С какой скоростью бежал Коля в клуб без телефона.
3. С какой скоростью бежал Коля с телефоном, т.е. во вторую попытку.
4. В какое время Коля выскочил из дома в первый раз.
5. На каком расстоянии от клуба живёт Миша.
6. Сколько всего километров намотал Коля на своём тяжком пути в клуб.
7. В какое время должен был выйти Коля, чтобы не спеша, со скоростью 5 км/час, добраться до клуба.
8. Кто нам так ужасно замутил задачу, Миша или Коля?
9. С кем нужно иметь дело в серьёзных делах?
Любой из этих вопросов (ну, кроме двух последних…) может быть вопросом задачи.А вы попробуйте ответить на все.
Ответы (в полном беспорядке) через точку с запятой: 3; Коля; 4; с Мишей; 8; 8; 18 часов 12 минут; 18 часов 37 с половиной минут; 8.
Задачка осложнена тем, что скорости даны в км/час, а некоторые времена – в минутах. Это намёк.
А вот вам стандартная задача на движение.
«Путь от станции до места привала турист прошёл за 4 часа, а велосипедист проехал за 2 часа. Скорость велосипедиста на 6 км/час больше скорости туриста. С какой скоростью шёл турист?»
|
|
|
Ответ: 6 км/час. Намёк: что в этой задаче одинаковое? Вот по этой величине можно и приравнивать…
Вот вы и познакомились с решением задач на движение. Теперь надо освоить решение задач на работу и решение задач на проценты. Это будет солидный арсенал для ЕГЭ и ГИА.
Задачи на работу
Основные понятия. Простые задачи на работу.
В задачах на работу речь идёт, как правило, о какой-то деятельности. Трубы заполняют бассейн, комбайнёры убирают урожай, строители строят дом и так далее. Любая может быть деятельность. Иногда и не очень похожая на работу...) Но в таких задачах всегда обыгрывается один и тот же набор величин.
Величины железно связаны между собой и образуют формулу-ключ. Именно этим ключиком и открывается решение любых задач на работу. Разберёмся, из каких же величин состоит формула-ключ. Их, величин, всего ничего. Три.
Первая величина в задачах на работу - время. Параметр простой и привычный. Это время, за которое выполняется та или иная работа. Измеряется, как вы догадываетесь, в секундах, минутах, часах, сутках и так далее. Обозначать время мы будем стандартно - буквой t.
Вторая величина - объём работы. Тоже параметр понятный. Сколько сделано деталей, налито воды, вспахано полей и так далее. Измеряется, соответственно, в тех единицах, о которых идёт речь в задаче. В деталях, литрах, полях и т.д. Я буду обозначать объём работы буквами Об.
Третья величина менее привычна. Это - производительность. Слово может и смутить кого-то, да...) Но, по сути, это просто скорость работы. И всё! Кто-то (или что-то) работает быстрее, а кто-то (что-то) - медленнее. Обычное дело.) Обозначим эту производительность буквами Пр.
В чём измерить скорость работы? Включаем элементарную логику. Если столяр Николай делает 5 табуреток в день, а столяр Василий - две, то кто быстрее работает?) Отсюда логичный вывод. Скорость любой работы (т.е. производительность) можно определить, как объём работы, сделанной за какое-то время. За единицу времени. Литры за час, табуретки за день, пирожки за минуту...
Из этих простых размышлений и получается формула для производительности:
|
|
|
