Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Процедура перевода десятичных чисел в р-ную систему счисления:

1. перевести отдельно целую часть числа х, для чего последовательно делить сперва целую часть [х]₁₀, а затем все частные (получаемые при делении) на р до тех пор, пока не получим в очередном частном число меньшее р; изображение [х]_p получается последовательным приписыванием к последнему частному остатков от деления – от последнего до первого;

2. перевести отдельно дробную часть (мантиссу) числа, то есть {x}₁₀, для чего последовательно умножать сперва исходную мантиссу, а затем мантиссы получаемых чисел на р до тех пор, пока не получим мантиссу, равную нулю, или нужное количество цифр в {х}_p; изображение {х}_p получается приписыванием к целой части первого произведения второй такой же цифры и т.д., до последней цифры целой части;

3. результат будет иметь вид (х)_р = [х]_p, {х}_p.

 

Пример. Дано число 12,8₁₀. Необходимо перевести число 12,8₁₀ в двоичную систему счисления.

Решение:

1. Переводим целую часть: 12₁₀ =1100₂;

2. Переводим дробную часть (полужирным выделены цифры, идущие в изображение мантиссы в двоичной системе):

 

0,8x2 =1,6; 0,6x2=1,2; 0,2x2=0,4; 0,4x2=0,8; 0,8₁₀=0,1100110₂;

3. Результат перевода: 12,8₁₀ = 1100,1100110011...₂.

Пример. Дано число 29,25₁₀. Перевести число 29,25₁₀ в восьмеричную систему счисления.

Решение имеет вид

1) 29₁₀ = 35₈;

2) 0,25₁₀ = 0,2₈;

3) 29,25₁₀ = 35,2₈.

Пример. Дано число 79,26₁₀. Перевести число 79,26₁₀в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

1) 79₁₀ = 4F₁₆;

2) 0,26₁₀ = 0,40₁₆;

3) 79,26₁₀ = 4F,4₁₆.

При переводе дробной части мы ограничились нахождением двух значащих цифр после запятой, ибо перевод точно сделать невозможно.

Арифметические операции в позиционных системах

 

Счисления Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам

 

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 210 = 102 (единица идет в старший разряд).

 

 

Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

0 – 1 = 102

102 – 1 = 1 (единицу забираем у старшего разряда)

 

 

Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид

 

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

 

Таблица деления в двоичной системе счисления имеет вид

 

0: 0 не определено

1: 0 не определено

0: 1 = 0

1: 1 = 1

 

Обратным кодом числа в системе с основанием р называется число в этой системе, получаемое заменой цифры, символа в каждом разряде числа на его дополнение до максимальной цифры в системе (то есть до р – 1).

 

Дополнительный код = обратный код + единица в младшем разряде.

Пример.

1. 10011 Þ двоичное число,

01100 Þ обратный код этого двоичного числа,

01101 Þ дополнительный код этого двоичного числа;

2. 457 Þ восьмеричное число,

321 Þ дополнительный код;

3. А9 Þ шестнадцатеричное число,

57 Þ дополнительный код.

Вычитание с помощью дополнительного кода: найти дополнительный код вычитаемого такой же разрядности, как и уменьшаемое, и сложить этот код с уменьшаемым. Результатом вычитания будет полученная сумма без учета старшего разряда (отбрасывается).

 

Пример. Выполним вычитание напрямую и через сложение (через дополнительный код):

 

Представление чисел в компьютере

Каждый разряд двоичного числа представляется в ЭВМ физическим элементом, обладающим двумя устойчивыми состояниями, одному из которых приписывается значение 0, а другому - 1. Совокупность опреде­ленного количества этих элементов служит для представления многоразрядных двоичных чисел и составляет разрядную сетку или формат пред­ставления числовых данных.

В ЭВМ, как и в математике, используется как естественная, так и нор­мальная формы записи чисел. Каждая из форм имеет определенные форматы для каждого типа ЭВМ, составленные из целого количества байтов. Длину формата данных измеряют в машинных словах или в количестве двоичных разрядов (бит). Например, в вычислительных машинах единой системы ЕС ЭВМ (предшествующих персональным ЭВМ) использовались форматы: полуслово - 2 байта (16 бит), слово - 4 байта (32 бит), двойное слово - 8 байт (64 бит); в персональных ЭВМ: слово - 2 байта, двойное слово - 4 байта.

Естественной формой представления данных обычно называют пред­ставление чисел с фиксированной запятой, положение которой строго устанавливается, для правильных дробей - перед старшим разрядом, для смешанных дробей - в определенном месте, отделяющем целую и дроб­ную части числа, для целых чисел - после младшего разряда. В совре­менных ЭВМ естественная форма используется в основном для пред­ставления целых чисел. Во всех форматах знак числа занимает место перед старшим разрядом и кодируется 0 - знак "плюс" и 1 - знак "минус". Знак от числа отделяется воображаемой точкой.

Рассмотрим диапазон представления чисел в коротком формате Н = 2 байта и в длинном - F = 4 байта (рис 1.1) В разрядных сетках вместе указаны коды наименьшего и наибольшего значений чисел.

 

Формат Н

 

Знак 2¹⁴ 2¹³ 2¹ 2⁰

			...
			...
Формат F
			...
			...

 

Рис 1.1. Форматы чисел в естественной форме

 

Числа в формате Н имеют значения:

 

 

Числа в формате F имеют значения:

 

 

При представлении правильных дробей, например в формате Н, наи­меньшее и наибольшее значения определяются как:

 

 

Для сокращения записи двоичных чисел можно использовать шестнадцатеричную систему. Так, в формате

 

= 0001; = 7FFF,

 

в формате

 

= 00000001, = 7FFFFFFF.

 

Каждая шестнадцатеричная цифра представляет собой двоичную тет­раду.

 

Пример: Даны 2 числа в форматах Н и F представить числа A=173, B=-173

А₂^H = 0000000010101101; В₂^Н = 1000000010101101;

А₁₆^Н = 00АD; А₁₆^F = 000000АD; В₁₆^Н = 80АD; В₁₆^F= 800000АD.

 

По первой шестнадцатеричной цифре можно определить знак числа. Если первая цифра меньше 8, то число положительное, если ее значение от 8 до F, то отрицательное.

Достоинствами естественной формы являются простота и наглядность представления чисел, простота алгоритмов реализации операций а, сле­довательно, простота устройств и высокая скорость выполнения опера­ций. Существенным недостатком является ограниченный диапазон пред­ставления величин. Если результаты вычислений выходят за допустимые пределы, то наступает переполнение разрядной сетки и результат иска­жается. В больших машинах вырабатывается при этом запрос на преры­вание программы, а в персональных производится автоматический пере­ход к представлению данных в нормальной форме.

Нормальной формой представления числа называется представление его в виде мантиссы и основания системы в соответствующей степени.

Любое число можно представить в различной форме записи, напри­мер:

 

А= 55,25 = 5525 *10^-2 = 0,5525 * 10² = 0,005525 * 10⁴.

 

Любое число в нормальной форме представляется в виде

 

(1.3)

 

где m_A- мантисса числа А,

q - основание системы счисления,

Р - порядок.

Для однозначности представления чисел используется нормализован­ная форма, при которой мантисса должна отвечать условию:

 

(1.4)

 

Ограничение справа требует, чтобы мантисса представлялась пра­вильной дробью, ограничение слева - чтобы после запятой присутствова­ла значащая цифра (не 0).

Нормальную форму называют также полулогарифмической или с пла­вающей запятой, положение которой определяется порядком, а также экспоненциальной.

Для представления чисел в нормальной форме используются фикси­рованные форматы разной длины. В разрядной сетке форматов отводятся места для знака мантиссы (нулевой разряд), знака порядка (первый раз­ряд), значение порядка (6 разрядов, со 2-го по 7-ой), в остальные разря­ды записывается мантисса числа. В других форматах первый байт не из­меняется, а увеличивается область под мантиссу. На рис. 1.2 представлена разрядная сетка в формате 4 байта.

 

 

Рис. 1.2. Формат числа в нормальной форме

Диапазон представления чисел можно оценить по максимальному значению:

 

 

где

 

При q= 2:

 

По сравнению с естественной формой диапазон представления чисел при той же разрядной сетке увеличился на 10 порядков.

В ЭВМ ЕС используются три формата: короткий Е (4 байта), длин­ный О (8 байт) и повышенной точности (16 байт). Особенностями нор­мальной формы в ЭВМ ЕС являются следующие:

1. Смещение числовой оси порядков в область положительных значе­ний для облегчения действий над порядками, не имеющими знака. В форматах 7 разрядов отводится под значение порядка и его знак, Сле­довательно, числовая ось порядков находится в диапазоне

 

или .

Смещенный порядок, называемый характеристикой, определяется смещением порядка на +2⁶ = 64 = 40₁₆, то есть характеристика Р_х = Р +40

не имеет знака.

Теперь характеристика может принимать значения в диапазоне =7F₁₆ и под ее значение отводятся 7 разрядов (2⁷ - 1 = 127). Оче­видно, если Р_х = 40, то Р = 0, если Р_х < 40, то порядок отрицательный (Р < 0), при Р_х > 40 - порядок положительный (Р > 0). Если Р_х < 0 или Р_х > 7F, то значение характеристики пропадает и результаты искажаются.

2. Мантиссы и порядки чисел выражаются в шестнадцатеричной сис­теме счисления в двоичном виде, что обеспечивает увеличение диапазона представления чисел, так как изменение характеристики на 1 приводит к сдвигу мантиссы на одну шестнадцатеричную цифру, то есть сразу на одну двоичную тетраду.

Действительно, если в формулу 1.3 подставить q = 16, то

 

 

Таким образом, значение порядка увеличилось в 4 раза.

Пример:

Представить в разрядной сетке формата Е два числа:

А = 32008,5₁₀

и

В = -32008,5.

Запишем заданные числа в шестнадцатеричной системе: А = 7D08, 8₁₆ и В = -7D08, 8₁₆. Найдем нормализованные мантиссы и характеристики:

m_A=0,7D088,

Р_ха=40+4-44;

m_в=-0,7D088,

Р_хв=40+4=44 (см. рис. 1.3)

 

Зн.m Р_х m

	100 0100

0 1 31

Рис. 1.3. Представление чисел в формате Е

 

А₁₆ = 55700880 > 0, В_1б = С47D0880 < 0

Здесь также по первой шестнадцатеричной цифре кода числа опреде­ляется его знак.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: