Свойства неопределённого интеграла
1. Производная от неопределённого интеграла равна подинтегральной функции:
2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению:
3. Интеграл от дифференциала первообразной функции равен самой первообразной, сложенной с произвольной постоянной:
4. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
5. Интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Метод непосредственного интегрирования Метод непосредственного интегрирования основан на преобразовании подинтегральной функции, применении свойств неопределённого интеграла и приведении подинтегрального выражения к табличной форме. Например: 1) Проверка (на основании свойства №2 неопределённого интеграла): 2) Проверка (на основании свойства №1 неопределённого интеграла): 2. Метод подстановки (замены переменной) Этот метод основан на введении новой переменной. В интеграле
Следовательно, получим: Например: 1) Проверка: 2) Проверка (на основании свойства №2 неопределённого интеграла): Интегрироване по частям Пусть u и v - дифференцируемые функции. Раскроем дифференциал произведения этих функций:
откуда Проинтегрируем полученное выражение: Тогда или Например: Проверка (на основании свойства №1 неопределённого интеграла): 2) Решаем Проверка (на основании свойства №1 неопределённого интеграла):
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Задачи для домашнего решения Найти интеграл: I. Метод непосредственного интегрирования а) б) в) г) д) II. Метод подстановки (замены переменной) а) б) в) г) д) III. Метод интегрирования по частям а) б) Задачи для решения на практических занятиях: I. Метод непосредственного интегрирования а) б) в) г) д) е) II. Метод подстановки (замены переменной) а) б) в) г) д) е) III. Метод интегрирования по частям а) б) в) г)
ТЕМА №4 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ При математических расчётах часто требуется найти приращение первообразной функции при изменении её аргумента в заданных пределах. Такую задачу приходится решать при вычислении площадей и объёмов различных фигур, при определении среднего значения функции, при вычислении работы переменной силы. Эти задачи могут быть решены вычислением соответствующих определённых интегралов. Цель занятия: 1. Научиться вычислять определённый интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница. 2. Уметь применять понятие определённого интеграла для решения прикладных задач.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ Рассмотрим задачу о нахождении площади криволинейной трапеции. Пусть дана некоторая функция y=f(x), график которой изображён на рисунке. Рис 1. Геометрический смысл определенного интеграла. На оси 0х выберем точки “ a” и “в” и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с кривой. Фигура ограниченная кривой, перпендикулярами и осью 0х называется криволинейной трапецией. Разобьём интервал
Тогда площадь всех достроенных прямоугольников в интервале
Если каждый из отрезков достаточно мал и стремится к нулю, то суммарная площадь прямоугольников будет стремиться к площади криволинейной трапеции:
Итак, задача о вычислении площади криволинейной трапеции сводится к определению предела суммы. Интегральная сумма есть сумма произведений приращения аргумента на значение функции f(x), взятой в некоторой точке интервала, в границах которого изменяется аргумент. Математически задача о нахождении предела интегральной суммы, если приращение независимой переменной стремится к нулю, приводит к понятию определённого интеграла. Функция f(x ) в некотором интервале от х=а до х=в интегрируема, если существует такое число, к которому стремится интегральная сумма при Dх®0. В этом случае число J называют определённым интегралом функции f(x) в интервале
где ] а, в [ – область интегрирования, а –нижний предел интегрирования, в –верхний предел интегрирования. Таким образом, с точки зрения геометрии, определённый интеграл есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции в определённом интервале ] а, в [ и осью абцисс.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|