 |
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
|
|
|
|
Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
если в правой части уравнения стоит ноль, то
то уравнение называется однородным линейным.
Для решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение. Характеристическим называется квадратное уравнение, полученное на основе дифференциального уравнения, в котором 
заменяются новой переменной k, степень которой определяется порядком производной:
;
Тогда 
- характеристическое уравнение.
Находим корни характеристического уравнения:
1. Если корни характеристического уравнения действительные и равные 
, т.е. дескременант Д=0, то решением дифференциального уравнения будет являться функция:
. (1)
2. Если корни характеристического уравнения действительные и равные числа 
, Д>0, то:
. (2)
3. Если корни характеристического уравнения – комплексные числа при Д<0, т.е. 
, то
. (3)
Например: Найти общее решение дифференциального уравнения:
1. 
Составляем характеристическое уравнение:
;
Находим его корни:
;
k1=k2=k=1
Подставляем полученное значение к=1 равенство (1), получаем:
.
2. 
Полученные значения к1 и к2 подставляем в равенство (2), получаем:
3. 
Полученные значения α и β подставляем в равенство (3), получаем:
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Пусть у нас есть дифференциальное уравнение, разрешенное относительно второй производной:
,
Рассмотрим виды дифференциальных уравнений второго порядка, которые допускают понижение порядка:
I. Дифференциальные уравнения не содержащие аргумента:
(*)
Вводим новую переменную Р:
подставляем это в (*) получаем:
.
Получили дифференциальные уравнения первого порядка и его решением будет функция: 
или
|
|
|
Разделяем переменные, умножая обе части на 
:
- Общее решение
Пример:
.
Вводим замену: 
(1)
Из равенства (1) получаем: 
(2)
Тогда 
(3)
Подставляем значения 
и 
из равенств (1) и (3) в заданное уравнение и получаем:
.
Получили уравнение первого порядка. Решаем методом разделения переменными Р и у. Уравнение решается относительно Р.
.
Сокращаем обе части на Р
.
Делим переменные, умножая обе части на 
получаем:
.
Интегрируем оба части:
Потенцируем:
(4)
Подставляем полученное значение Р из равенства (4) в равенство (1), получаем:
Вновь получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменных у и х.
Делим переменные, умножая обе части равенства на 
, получаем:
Интегрируем:
.
Потенцируем:
Получаем общее решение дифференциального уравнения:
II. Дифференциальные уравнения не содержащие искомой функции:
(**)
Тогда уравнение (**) примет вид:
.
Решением этого уравнения будет функция: 
- Общее решение
Пример:
Вводим замену: 
(1)
Тогда 
(2)
Подставляем значения и из равенств (1) и (2) в исходное уравнение и получаем:
.
Делим переменные, умножая обе части на 
получаем:
.
Интегрируем оба части равенства:
Потенцируем:
(3)
Подставляем значение Р из равенства (3) в равенство (1) и получаем:
.
Делим переменные, умножая обе части равенства на , и интегрируем:
- Общее решение
III. Дифференциальные уравнения не содержащее искомой функции и её производной:
(***)
Подстановка: 
подставляем в (***)
- Общее решение
Например: Найти общее решение дифференциального уравнения:
Вводим подстановку: 
(1)
Тогда (2)
Подставляем значения из равенства (2) в исходное уравнение:
.
Делим переменные, умножая обе части равенства на 
получаем:
.
Решаем полученное уравнение, интегрируя обе части:
и получаем;
(3)
|
|
|
Подставляем значение Р из равенства (3) в равенство (1), получаем:
.
Делим переменные, умножая обе части равенства на , и интегрируем:
.
Таким образом,
- Общее решение
Примечание. Решаем интеграл 
методом интегрирования по частям:
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
|
|
|
