Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения
Предположим, что изучается некоторая случайная величина
, закон распределения которой в точности неизвестен, и требуется определить этот закон из опыта или проверить экспериментально гипотезу о том, что величина
подчинена тому или иному закону. С этой целью над случайной величиной
производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов случайная величина
принимает определенное значение. Совокупность наблюденных значений величины и представляет собой первичный статистический материал, подлежащий обработке, осмыслению и научному анализу. Такая совокупность называется «простой статистической совокупностью» или «простым статистическим рядом». Обычно простая статистическая совокупность оформляется в виде таблицы с одним входом, в первом столбце которой стоит номер опыта
, а во втором – наблюденное значение случайной величины.
Пример 1. Случайная величина
- угол скольжения самолета в момент сбрасывания бомбы (под углом скольжения подразумевается угол, составленный вектором скорости и плоскостью симметрии самолета). Произведено 20 бомбометаний, в каждом из которых зарегистрирован угол скольжения
в тысячных долях радиана. Результаты наблюдений сведены в простой статистический ряд:
|
|
|
|
|
|
| -20
-60
-10
-10
|
| -30
-100
-80
-60
|
| -10
-80
|
Простой статистический ряд представляет собой первичную форму записи статистического материала и может быть обработан различными способами. Одним из способов такой обработки является построение статистическойфункции распределения случайной величины.
Статистической функцией распределения случайной величины
называется частота события
в данном статистическом материале:
. (7.2.1)
Для того чтобы найти значение статистической функции распределения при данном
, достаточно подсчитать число опытов, в которых величина
приняла значение, меньшее чем
, и разделить на общее число
произведенных опытов.
Пример 2. Построить статистическую функцию распределения для случайной величины
, рассмотренной в предыдущем примере.
Решение. Так как наименьше наблюденное значение величины равно
, то
. Значение
наблюдено один раз, его частота равна
; следовательно, в точке
имеет скачок, равный
. В промежутке от
до
функция
имеет значение
; в точке
происходит скачок функции
на
, так как значение
наблюдено дважды и т.д.
График статистической функции распределения величины представлен на рис.7.2.1.

Рис. 7.2.1
Статистическая функция распределения любой случайной величины - прерывной или непрерывной - представляет собой прерывную ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют наблюденным значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. Если каждое отдельное значение случайной величины
было наблюдено только один раз, скачок статистической функции распределения в каждом наблюденном значении равен
, где
- число наблюдений.
При увеличении числа опытов
, согласно теореме Бернулли, при любом
частота события
приближается (сходится по вероятности) к вероятности этого события. Следовательно, при увеличении
статистическая функция распределения
приближается (сходится по вероятности) к подлинной функции распределения
случайной величины
.
Если
- непрерывная случайная величина, то при увеличении числа наблюдений
число скачков функции
увеличивается, самые скачки уменьшаются и график функции
неограниченно приближается к плавной кривой
- функции распределения величины
.
В принципе построение статистической функции распределения уже решает задачу описания экспериментального материала. Однако при большом числе опытов
построение
описанным выше способом весьма трудоемко. Кроме того, часто бывает удобно - в смысле наглядности - пользоваться другими характеристиками статистических распределений, аналогичными не функции распределения
, а плотности
. С такими способами описания статистических данных мы познакомимся в следующем параграфе.
Воспользуйтесь поиском по сайту: