Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение
Кроме характеристик положения – средних, типичных значений случайной величины, - употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты. Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты,моменты инерции и т.д.). Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные. Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины
Очевидно, это определение совпадает с определением начального момента порядка s в механике, если на оси абсцисс в точках Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл
Нетрудно убедиться, что введенная в предыдущем n° основная характеристика положения –математическое ожидание – представляет собой не что иное, как первый начальный момент случайной величины Пользуясь знаком математического ожидания, можно объединить две формулы (5.7.1) и (5.7.2) в одну. Действительно, формулы (5.7.1) и (5.7.2) по структуре полностью аналогичны формулам (5.6.1) и (5.6.2), с той разницей, что в них вместо
т.е. начальным моментом
Перед тем, как дать определение центрального момента, введем новое понятие «центрированной случайной величины». Пусть имеется случайная величина
Условимся в дальнейшем везде обозначать центрированную случайную величину, соответствующую данной случайной величине, той же буквой со значком Нетрудно убедиться, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю. Действительно, для прерывной величины
аналогично и для непрерывной величины. Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию. Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Они аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике. Таким образом, центральным моментом порядка s случайной величины
а для непрерывной – интегралом
В дальнейшем в тех случаях, когда не возникает сомнений, к какой случайной величине относится данный момент, мы будем для краткости вместо Очевидно, для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю:
так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю. Выведем соотношения, связывающие центральные и начальные моменты различных порядков. Вывод мы проведем только для прерывных величин; легко убедится, что точно те же соотношения справедливы и для непрерывных величин, если заменить конечные суммы интегралами, а вероятности – элементами вероятности. Рассмотрим второй центральный момент:
Аналогично для третьего центрального момента получим: Выражения для Таким образом, для центральных моментов любой случайной величины
Вообще говоря, моменты могут рассматриваться не только относительно начала координат (начальные моменты) или математического ожидания (центральные моменты), но и относительно произвольной точки
Однако центральные моменты имеют перед всеми другими преимущество: первый центральный момент, как мы видели, всегда равен нулю, а следующий за ним, второй центральный момент при этой системе отсчета имеет минимальное значение. Докажем это. Для прерывной случайной величины
Преобразуем это выражение: Очевидно, эта величина достигает своего минимума, когда Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание) Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Ввиду крайней важности этой характеристики среди других моментов введем для нее специальное обозначение
Согласно определению центрального момента
т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины. Заменяя в выражении (5.7.13) величину
Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:
- соответственно для прерывных и непрерывных величин. Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание». Если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия представляет собой не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания). Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины
Для упрощения записей мы часто будем пользоваться сокращенными обозначениями среднего квадратического отклонения и дисперсии: На практике часто применяется формула, выражающая дисперсию случайной величины через её второй начальный момент (вторая из формул (5.7.10)). В новых обозначениях она будет иметь вид:
Математическое ожидание Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания (или, в механической интерпретации, масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю. Действительно, в сумме при симметричном относительно
который равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции. Естественно поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения выбрать какой-либо из нечетных моментов. Простейший из них есть третий центральный момент. Он имеет размерность куба случайной величины: чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент
На рис. 5.7.1 показано два асимметричных распределения; одно из них (кривая I) имеет положительную асимметрию ( Рис. 5.7.1 Четвертый центральный момент служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью так называемого эксцесса. Эксцессом случайной величины
Число 3 вычитается из отношения На рис. 5.7.2 представлены: нормальное распределение (кривая I), распределение с положительным эксцессом (кривая II) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая III). Рис. 5.7.2 Кроме рассмотренных выше начальных и центральных моментов, на практике иногда применяются так называемые абсолютные моменты (начальные и центральные), определяемые формулами
Очевидно, абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами. Из абсолютных моментов наиболее часто применяется первый абсолютный центральный момент
называемый средним арифметическим отклонением. Наряду с дисперсией и средним квадратическим отклонением среднее арифметическое отклонение иногда применяется как характеристика рассеивания. Математическое ожидание, мода, медиана, начальные и центральные моменты и, в частности, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, асимметрия и эксцесс представляют собой наиболее употребительныечисловые характеристики случайных величин. Во многих задачах практики полная характеристикаслучайной величины – закон распределения – или не нужна, или не может быть получена. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощь. Числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения. Очень часто числовыми характеристиками пользуются для приближенной замены одного распределения другим, причем обычно стремятся произвести эту замену так, чтобы сохранились неизменными несколько важнейших моментов.
Пример 1. Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие Решение. Ряд распределения величины имеет вид: где По формуле (5.6.1) находим математическое ожидание величины
Дисперсию величины
откуда
(Предлагаем читателю получить тот же результат, выразив дисперсию через второй начальный момент). Пример 2. Производится три независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. случайная величина Решение. Ряд распределения величины Вычисляем числовые характеристики величины Заметим, что те же характеристики могли бы быть вычислены значительно проще с помощью теорем о числовых характеристиках функций (см. главу 10). Пример 3. Производится ряд независимых опытов до первого появления события Решение. Ряд распределения величины Математическое ожидание величины
Нетрудно видеть, что ряд, стоящий в скобках, представляет собой результат дифференцированиягеометрической прогрессии: Следовательно, откуда
Для определения дисперсии величины Х вычислим сначала её второй начальный момент:
Для вычисления ряда, стоящего в скобках, умножим на q ряд: Получим: Дифференцируя этот ряд по Умножая на По формуле (5.7.18) выразим дисперсию: откуда Пример 4. Непрерывная случайная величина (рис. 5.7.3). Найти коэффициент Рис. 5.7.3. Решение. Для определения отсюда Так как функция
Дисперсия и с.к.о. равны, соответственно:
Так как распределение симметрично, то Для вычисления эксцесса находим откуда
Пример 5. Случайная величина Написать выражение плотности распределения. Найти м.о., дисперсию, с.к.о. и асимметрию распределения. Рис. 5.7.4. Решение. Выражение плотности распределения имеет вид: Пользуясь свойством плотности распределения, находим Математическое ожидание величины Дисперсию найдем через второй начальный момент: отсюда Третий начальный момент равен Пользуясь третьей из формул (5.7.10), выражающей откуда
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|