Оценки для числовых характеристик системы случайных величин
В Аналогичные вопросы возникают и при обработке ограниченного числа наблюдений над двумя и более случайными величинами. Здесь мы ограничимся рассмотрением только точечных оценок для характеристик системы. Рассмотрим сначала случай двух случайных величин. Имеются результаты
Требуется найти оценки для числовых характеристик системы: математических ожиданий Этот вопрос решается аналогично тому, как мы решили его для одной случайной величины. Несмещенными оценками для математических ожиданий будут средние арифметические:
а для элементов корреляционной матрицы -
Доказательство может быть проведено аналогично При непосредственном вычислении оценок для дисперсий и корреляционного момента часто бывает удобно воспользоваться связью между центральными и начальными статистическими моментами:
где
Вычислив статистические моменты по формулам (14.6.3), можно затем найти несмещенные оценки для элементовкорреляционной матрицы по формулам:
Пример. Произведены стрельбы с самолета по земле одиночными выстрелами. Зарегистрированы координаты точек попадания и одновременно записаны соответствующие значения угла скольжения самолета. Наблюденные значения угла скольжения Таблица 14.6.1
Найти оценки для числовых характеристик системы Решение. Для наглядности наносим все пары значений По формулам (14.6.1) вычисляем средние значения величин
Рис. 14.6.1. Далее находим статистические вторые начальные моменты:
По формулам (14.6.3) находим статистические дисперсии:
Для нахождения несмещенных оценок умножим статистические дисперсии на
Соответственно средние квадратические отклонения равны:
По последней формуле (14.6.4) находим статистический начальным момент: и статистический корреляционный момент:
Для определения несмещенной оценки умножаем его на
откуда оценка для коэффициента корреляции равна:
Полученное сравнительно большое значение Перейдем к случаю обработки наблюдений над системой произвольного числа случайных величин. Имеется система
Над системой произведено Таблица 14.6.2
Числа, стоящие в таблице и занумерованные двумя индексами, представляют собой зарегистрированные результаты наблюдений; первый индекс обозначает номер случайной величины, второй - номер наблюдения, так что
Требуется найти оценки для числовых характеристик системы: математических ожиданий
По главной диагонали корреляционной матрицы, очевидно, стоят дисперсии случайных величин
Оценки для математических ожиданий найдутся как средние арифметические:
Несмещенные оценки для дисперсий определятся по формулам
а для корреляционных моментов - по формулам
По этим данным определяются оценки для элементов нормированной корреляционной матрицы:
где
Пример. Сброшено 10 серий бомб, по 5 бомб в каждой, и зарегистрированы точки попадания. Результаты опытов сведены в таблицу 14.6.3. В таблице буквой Требуется определить подходящие значения числовых характеристик - математических ожиданий и элементовкорреляционных матриц - для системы пяти случайных величин и системы пяти случайных величин
Решение. Оценки для математических ожиданий найдутся как средние арифметические по столбцам:
При вычислении элементов корреляционной матрицы мы не будем, как в прежних примерах, пользоваться соотношениями между начальными и центральными моментами; в данном случае ввиду сильно изменяющихсяматематических ожиданий пользование этим приемом не даст преимуществ. Будем вычислять оценки для моментов непосредственно по формулам (14.6.2). Для этого вычтем из каждого элемента таблицы 14.6.3 среднее значениесоответствующего столбца. Результаты сведем в таблицу 14.6.4. Таблица 14.6.3
Таблица 14.6.4
Возводя эти числа в квадрат, суммируя по столбцам и деля на
Чтобы найти оценку для корреляционного момента, например, между величинами
Деля
Аналогично находим все остальные элементы корреляционных матриц. Для удобства умножим все элементы обеих матриц моментов на
(Ввиду симметричности матриц они заполнены только наполовину.) Нормированные корреляционные матрицы имеют вид:
Рассматривая эти матрицы, убеждаемся, что величины
Обработка стрельб Одной из важных практических задач, возникающих при изучении вопросов стрельбы и бомбометания, является задача обработки результатов экспериментальных стрельб (бомбометаний). Здесь мы будем различать два случая: стрельбу ударными снарядами и стрельбу дистанционными снарядами. При стрельбе ударными снарядами рассеивание характеризуется законом распределения системы двух случайных величин: абсциссы и ординаты точки попадания на некоторой плоскости (реальной или воображаемой). При стрельбе дистанционными снарядами рассеивание носит пространственный характер и описывается законом распределения системы трех координат точки разрыва снаряда.
Рассмотрим сначала задачу обработки стрельб ударными снарядами. Пусть произведено
Рис. 14.7.1. Предполагая, что закон распределения системы Начнем с рассмотрения самого простого случая, когда направление главных осей рассеивания известно заранее. Этот случай часто встречается на практике, так как обычно направление главных осей рассеивания определяется самими условиями стрельбы (например, при бомбометании - направление полета и перпендикулярное к нему; при воздушной стрельбе - направление поперечной скорости цели и перпендикулярное к нему и т. д.). В этом случае задача обработки стрельб сильно упрощается. Зная заранее хотя бы ориентировочно направление главных осей, можно выбрать координатные оси параллельно им; в такой системе координат абсцисса и ордината точки попадания представляют собой независимые случайные величины, и их закон распределения определяется всего четырьмя параметрами: координатами центра рассеивания и главными средними квадратическими отклонениями
Рассмотрим более сложный случай, когда направление главных осей рассеивания заранее неизвестно и тоже должно быть определено из опыта. В этом случае определению подлежат оценки всех пяти параметров: координат центра рассеивания Рис. 14.7.2. Оценки для координат центра рассеивания в этом случае определяются так же, как в предыдущем случае, по формулам
Перейдем к оценке угла или
Очевидно, величины
Так как оси Вычислим корреляционный момент величин
Приравнивая это выражение нулю и деля обе части на
Уравнение (14.7.4) даст два значения угла Заменяя в равенстве (14.7.4)
Найдем оценки для главных средних квадратических отклонений
откуда находим оценки для главных дисперсий:
Оценки для главных средних квадратических отклонений выразятся формулами:
Выпишем отдельно полную сводку формул для обработки стрельб по плоской мишени в случае, когда направление главных осей рассеивания заранее неизвестно. Оценки искомых параметров определяются формулами:
где
В заключение следует заметить, что обработку стрельб по полным формулам (14.7.7) имеет смысл предпринимать только тогда, когда число опытов достаточно велико (порядка многих десятков; только в этом случае угол Задачу обработки стрельб дистанционными снарядами мы здесь рассмотрим только в простейшем случае, когда направление главных осей рассеивания (хотя бы ориентировочно) известно заранее. Как правило, встречающиеся в практике стрельбы дистанционными снарядами задачи обработки опытов относятся к этому типу. Тогда можно выбрать координатные оси параллельно главным осям рассеивания и рассматривать три координаты точки разрыва снаряда как независимые случайные величины. Пусть в результате в системе координат с осями, параллельными главным осям рассеивания. Оценки для параметров нормального закона определятся формулами:
На решении задачи обработки стрельб дистанционными снарядами в случае, когда направления главных осей рассеивания заранее неизвестны, мы останавливаться не будем, так как на практике эта задача встречается сравнительно редко.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|