Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов
К вопросам, связанным с обработкой опытов, разобранным в данной главе, близко примыкает вопрос о сглаживании экспериментальных зависимостей. Пусть производится опыт, целью которого является, исследование зависимости некоторой физической величины
Вид этой зависимости и требуется определить из опыта. Предположим, что в результате опыта мы получили ряд экспериментальных точек и построили график зависимости Рис. 14.8.1. Эти уклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения. Возникает вопрос, как по этим экспериментальным данным наилучшим образом воспроизвести зависимость Известно, что через любые Рис. 14.8.2. Однако такое решение вопроса обычно не является удовлетворительным: как правило, нерегулярное поведение экспериментальных точек, подобное изображенному на рис. 14.8.1 и 14.8.2, связано не с объективным характером зависимости
Тогда возникает весьма типичная для практики задача сглаживания экспериментальной зависимости. Желательно обработать экспериментальные данные так, чтобы по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости Для решения подобных задач обычно применяется расчетный метод, известный под названием «метода наименьших квадратов». Этот метод дает возможность при заданном типе зависимости Скажем несколько слов о том, из каких соображений может быть выбран тип кривой Рис. 14.8.3. Зависимость, изображенная на рис. 14.8.4, хорошо может быть представлена полиномом второй степени Рис. 14.8.4. Если речь идет о периодической функции, часто можно выбрать для ее изображения несколько гармониктригонометрического ряда и т. д. Очень часто бывает так, что вид зависимости (линейная, квадратичная, показательная и т. д.) бывает известен из физических соображений, связанных с существом решаемой задачи, а из опыта требуется установить только некоторые параметры этой зависимости. Задачу о рациональном выборе таких числовых параметров при данном виде зависимости мы и будем решать в настоящем Пусть имеются результаты Таблица 14.8.1
Точки
Рис. 14.8.5. Из теоретических или иных соображений выбран принципиальный вид зависимости Решение этой задачи, как и любой задачи выравнивания или сглаживания, зависит от того, что именно мы условимся считать «наилучшим». Можно, например, считать «наилучшим» такое взаимное расположение кривой и экспериментальных точек, при котором максимальное расстояние между ними обращается в минимум; можно потребовать, чтобы в минимум обращалась сумма абсолютных величин отклонений точек от кривой и т. д. При каждом из этих требовании мы получим свое решение задачи, свои значения параметров Однако общепринятым при решении подобных задач является так называемый метод наименьших квадратов, при котором требование наилучшего согласования кривой Изложим это обоснование. Предположим, что истинная зависимость
Тогда нормальный закон, по которому распределяется величина
В результате нашего опыта - ряда измерений - произошло следующее событие: случайные величины
Строго говоря, вероятность любого из событий
Найдем вероятность того, что система случайных величин
Так как опыты независимы, эта вероятность равна произведению элементов вероятностей (14.8.3) для всех значений
где Требуется так выбрать математические ожидания Величина всегда меньше единицы; очевидно, она имеет наибольшее значение, когда показатель степени по абсолютной величине минимален:
Отсюда, отбрасывая постоянный множитель была наивероятнейшей, нужно выбрать функцию
Таким образом обосновывается метод наименьших квадратов, исходя из нормального закона ошибок измерения и требования максимальной вероятности данной совокупности ошибок. Перейдем к задаче определения параметров
Требуется выбрать
Найдем значения
где Система уравнений (14.8.7) содержит столько же уравнений, сколько неизвестных Решить систему (14.8.7) в общем виде нельзя; для этого необходимо задаться конкретным видом функции Рассмотрим два часто встречающихся на практике случая: когда функция
1. Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов В опыте зарегистрирована совокупность значений Рис. 14.8.6. Требуется подобрать по методу наименьших квадратов параметры
изображающей данную экспериментальную зависимость. Решение. Имеем:
Дифференцируя выражение (14.8.8) по Подставляя в формулы (14.8.7), получим два уравнения для определения
или, раскрывая скобки и производя суммирование,
Разделим оба уравнения (14.8.9) на
Суммы, входящие в уравнения (14.8.10), представляют собой не что иное, как уже знакомые нам статистические моменты: Подставляя эти выражения в систему (14.8.10), получим:
Выразим
Решая последнее уравнение относительно
Выражение (14.8.12) можно упростить, если ввести в него не начальные, а центральные моменты. Действительно,
откуда
где
Таким образом, поставленная задача решена, и линейная зависимость, связывающая
или, перенося
Мы выразили коэффициенты линейной зависимости через центральные, а не через начальные вторые моменты только потому, что в таком видe формулы имеют более компактный вид. При практическом применении выведенных формул может оказаться удобнее вычислять моменты
Для того чтобы формулы (14.8.16) не приводили к разностям близких чисел, рекомендуется перенести начало отсчета в точку, не слишком далекую от математических ожиданий
2. Подбор параметров параболы второго порядка методом наименьших квадратов В опыте зарегистрированы значения Рис. 14.8.7. Требуется методом наименьших квадратов подобрать параметры квадратичной функции - параболы второго порядка:
соответствующей наблюденной экспериментальной зависимости. Имеем:
Подставляя в уравнения (14.8.7), имеем:
или, раскрывая скобки, производя суммирование и деля на
Коэффициенты этой системы также представляют собой статистические моменты системы двух величии
Пользуясь этими выражениями для коэффициентов через начальные моменты одной случайной величины и системы двух величин, можно придать системе уравнений (14.8.7) достаточно компактный вид. Действительно, учитывая, что
Закон образования коэффициентов в уравнениях (14.8.18) нетрудно подметить: в левой части фигурируют только моменты величины Аналогичными по структуре уравнениями будут определяться коэффициенты параболы любого порядка. Мы видим, что в случае, когда экспериментальная зависимость выравнивается по методу наименьших квадратов полиномом некоторой степени, то коэффициенты этого полинома находятся решением системылинейных уравнений. Коэффициенты этой системы линейных уравнений представляют собой статистические моменты различных порядков, характеризующие систему величии Почти так же просто решается задача сглаживания экспериментальной зависимости методом наименьших квадратов в случае, когда сглаживающая функция представляет собой не полином, а сумму произвольных заданных функций
и когда требуется определить коэффициенты Например, экспериментальную зависимость можно сглаживать тригонометрическим полиномом или линейной комбинацией показательных функций
и т. д. В случае, если функция задается выражением типа (14.8.19), коэффициенты
Выполняя почленное суммирование, имеем:
или, короче,
Систему линейных уравнений (14.8.20) всегда можно решить и определить таким образом коэффициенты Сложнее решается задача о сглаживании методом наименьших квадратов, если в выражение функции Проиллюстрируем идею, этих приемов на самом простом примере функции, нелинейно зависящей только от одного параметра
где Рис. 14.8.8. Будем решать задачу следующим образом. Зададимся рядом значений параметра
Нанесем значение То значение Совершенно так же, в принципе, можно, не решая уравнений (14.8.7), подобрать совокупность двух параметров Рис. 14.8.9. Рис. 14.8.10. Пример1. В опыте исследована зависимость глубины проникания Таблица 14.8.2.
Рис. 14.8.11. Требуется по методу наименьших квадратов подобрать и построить прямую, изображающую зависимость Решение. Имеем:
Для обработки по начальным моментам переносим начало координат в близкую к средней точку:
Получаем новую таблицу значений величин:
(табл. 14.8.3). Таблица 14.8.3.
Определяем моменты:
Уравнение прямой имеет вид:
или
Прямая (14.8.22) показана на рис. 14.8.11. Пример 2. Произведен ряд опытов по измерению перегрузки авиационной бомбы, проникающей в грунт, при различных скоростях встречи. Полученные значения перегрузки Таблица 14.8.4.
Построить по методу наименьших квадратов квадратичную зависимость вида:
наилучшим образом согласующуюся с экспериментальными данными. Решение. В целях удобства обработки удобно изменить единицы измерения так, чтобы не иметь дела с многозначными числами; для этого можно значения Находим коэффициенты уравнений (14.8.18). В принятых условных единицах:
Система уравнений (14.8.18) имеет вид:
Решая эту систему, находим:
На рис. 14.8.12 нанесены экспериментальные точки и зависимость
построенная по методу наименьших квадратов. Рис. 14.8.12. Примечание. В некоторых случаях может потребоваться провести кривую так, чтобы она точно проходила через некоторые заданные заранее точки. Тогда некоторые из числовых параметров Например, в условиях примера 2 может понадобиться проэкстраполироватъ зависимость
а система уравнений для определения
Пример 3. Конденсатор, заряженный до напряжения Таблица 14.8.5.
Согласно теоретическим данным, зависимость напряжения от времени должна иметь вид:
Основываясь на опытных данных, подобрать методом наименьших квадратов значение параметра Решение. По таблицам функции и вычисляем для них значения функции в точках Таблица 14.8.6.
|
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|