Понятие о случайной функции как расширение понятия о системе случайных величин. Закон распределения случайной функции

Рассмотрим некоторую случайную функцию на определенном отрезке времени (рис. 15.2.1).

Рис. 15.2.1.

Строго говоря, случайную функцию мы не можем изображать с помощью кривой на графике: начертить мы можем лишь ее конкретные реализации. Однако в целях наглядности можно позволить себе условно изобразить на чертеже случайную функцию в виде кривой, понимая под этой кривой не конкретную реализацию, а всю совокупность возможных реализаций . Эту условность мы будем отмечать тем, что кривую, символически изображающую случайную функцию, будем проводить пунктиром.

Предположим, что ход изменения случайной функции регистрируется с помощью некоторого прибора, который не записывает случайную функцию непрерывно, а отмечает ее значения через определенные интервалы - в моменты времени .

Как было указано выше, при фиксированном значении случайная функция превращается в обычнуюслучайную величину. Следовательно, результаты записи в данном случае представляют собой систему случайных величин:

. (15.2.1)

Очевидно, при достаточно высоком темпе работы регистрирующей аппаратуры запись случайной функции через такие интервалы даст достаточно точное представление о ходе ее изменения. Таким образом, рассмотрение случайной функции можно с некоторым приближением заменить рассмотрением системы случайных величин(15.2.1). По мере увеличения такая замена становится все более и более точной. В пределе число значений аргумента - и соответственно число случайных величин (15.2.1) - становится бесконечным. Таким образом, понятиеслучайной функции можно рассматривать как естественное обобщение понятия системы случайных величин на случай бесконечного (несчетного) множества величин, входящих в систему.

Исходя из такого толкования случайной функции попытаемся ответить на вопрос: что же должен представлять собой закон распределения случайной функции?

Мы знаем, что закон распределения одной случайной величины есть функция одного аргумента, закон распределения системы двух величин - функция двух аргументов и т. д. Однако практическое пользование в качестве вероятностных характеристик функциями многих аргументов настолько неудобно, что даже для систем трех-четырех величин мы обычно отказываемся от пользования законами распределения и рассматриваем только числовые характеристики. Что касается закона распределения случайной функции, который предоставляет собой функцию бесчисленного множества аргументов, то такой закон в лучшем случае можно чисто формально записать в какой-либо символической форме; практическое же пользование подобной характеристикой, очевидно, совершенно исключено.

Можно, однако, для случайной функции построить некоторые вероятностные характеристики, аналогичные законам распределения. Идея построения этих характеристик заключается в следующем.

Рассмотрим случайную величину - сечение случайной функции в момент (рис. 15.2.2).

Рис. 15.2.2.

Эта случайная величина, очевидно, обладает законом распределения, который в общем случае зависит от . Обозначим его . Функция называется одномерным законом распределения случайной функции .

Очевидно, функция не является полной, исчерпывающей характеристикой случайной функции . Действительно, эта функция характеризует только закон распределения для данного, хотя и произвольного ; она не отвечает на вопрос о зависимости случайных величин при различных . С этой точки зрения более полной характеристикой случайной функции является так называемый двумерный закон распределения:

. (15.2.2)

Это - закон распределения системы двух случайных величин , т. е. двух произвольных сеченийслучайной функции . Однако и эта характеристика в общем случае не является исчерпывающей; еще более полной характеристикой был бы трехмерный закон:

. (15.2.3)

Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число аргументов и получать при этом все более подробную, все более исчерпывающую характеристику случайной функции, но оперировать со столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне неудобно. Поэтому при исследовании законов распределения случайных функций обычно ограничиваются рассмотрением частных случаев, где для полной характеристики случайной функции достаточно, например, знания функции (15.2.2) (так называемые «процессы без последействия»).

В пределах настоящего элементарного изложения теории случайных функций мы вовсе не будем пользоваться законами распределения, а ограничимся рассмотрением простейших характеристик случайных функций, аналогичных числовым характеристикам случайных величин.