Особенности обработки ограниченного числа опытов. Оценки дли неизвестных параметров закона распределения
В главе 7 мы уже рассмотрели некоторые задачи математической статистики, относящиеся к обработке опытных данных. Это были главным образом задачи о нахождении законов распределения случайных величии по результатам опытов. Чтобы найти закон распределения, нужно располагать достаточно обширным статистическим материалом, порядка нескольких сотен опытов (наблюдений). Однако на практике часто приходится иметь дело со статистическим материалом весьма ограниченного объема - с двумя-тремя десятками наблюдении, часто даже меньше. Это обычно связано с дороговизной и сложностью постановки каждого опыта. Такого ограниченного материала явно недостаточно для того, чтобы найти заранее неизвестный закон распределенияслучайной величины; но все же этот материал может быть обработан и использован для получения некоторых сведений о случайной величине. Например, на основе ограниченного статистического материала можно определить - хотя бы ориентировочно - важнейшие числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание,дисперсию, иногда - высшие моменты. На практике часто бывает, что вид закона распределения известен заранее, а требуется найти только некоторые параметры, от которых он зависит. Например, если заранее известно, что закон распределения случайной величины нормальный, то задача обработки сводится к определению двух его параметров
В данной главе мы рассмотрим ряд задач об определении неизвестных параметров, от которых зависит закон распределения случайной величины, но ограниченному числу опытов. Прежде всего нужно отметить, что любое значение искомого параметра, вычисленное на основе ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Такое приближенное, случайное значение мы будем называть оценкой параметра. Например, оценкой для математического ожидания может служить среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины в Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная величина Обозначим наблюденные значения случайной величины
Их можно рассматривать как Обозначим
и, следовательно, сама является величиной случайной. Закон распределения
Предъявим к оценке Естественно потребовать от оценки Кроме того, желательно, чтобы, пользуясь величиной
Оценка, удовлетворяющая такому условию, называется несмещенной. Наконец, желательно, чтобы выбранная несмещенная оценка обладала по сравнению с другими наименьшейдисперсией, т. е.
Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной. На практике не всегда удается удовлетворить всем этим требованиям. Например, может оказаться, что, даже еслиэффективная оценка существует, формулы для ее вычисления оказываются слишком сложными, и приходится удовлетворяться другой оценкой, дисперсия которой несколько больше. Иногда применяются - в интересах простоты расчетов - незначительно смещенные оценки. Однако выбору оценки всегда должно предшествовать ее критическое рассмотрение со всех перечисленных выше точек зрения.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|