Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой
В главе 16 мы познакомились с общими правилами линейных преобразований случайных функций, представленных в виде канонических разложений. Эти правила сводятся к тому, что при линейных преобразованиях случайных функций их математические ожидания и координатные функции подвергаются тем же линейным преобразованиям. Таким образом, задача линейного преобразования случайной функции сводится к задаче такого желинейного преобразования нескольких неслучайных функций. В случае, когда речь идет о линейных преобразованиях стационарных случайных функций, задачу удается упростить еще больше. Если и входное воздействие Для того чтобы при стационарном воздействии реакция системы могла быть тоже стационарной, очевидно необходимо, чтобы параметры системы (например, входящие в нее сопротивления, емкости, индуктивности и т. п.) были постоянными, а не переменными. Условимся называть линейную систему с постоянными параметрами стационарной линейной системой. Обычно работа стационарной линейной системы описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Рассмотрим задачу о преобразовании стационарной случайной функции стационарной линейной системой. Пусть на вход линейной системы Рис. 17.5.1. Известны характеристики случайной функции
Так как для решения задачи нам придется преобразовывать неслучайные функции - математическое ожидание и координатные функции, рассмотрим прежде всего задачу об определении реакции системы Напишем в операторной форме линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, связывающее реакцию системы
где Уравнение (17.5.1) короче можно записать в виде:
или, наконец, условно разрешая уравнение (17.5.2) относительно
Реакцию системы Если ограничиться рассмотрением участков времени, достаточно удаленных от начала процесса, когда все переходные процессы в системе можно считать законченными, и система работает в установившемся режиме, можно отбросить второе слагаемое В случае, когда воздействие
Так как координатные функции спектрального разложения стационарной случайной функции Пусть на вход системы поступает гармоническое колебание вида:
Будем искать реакцию системы
Множитель
Имея в виду, что при любом
и деля обе части уравнения (17.5.6) на
Мы видим, что множитель при
откуда
Функция Таким образом, если на вход линейной системы с постоянными параметрами поступает гармоническое колебаниевида
где
Очевидно, это свойство сохранится и в том случае, когда величина Применим изложенные приемы преобразования гармонических колебаний линейной системой к математическому ожиданию случайной функции
Представим математическое ожидание
откуда получаем математическое ожидание на выходе системы:
Перейдем к преобразованию линейной системой существенно случайной части функции
Для этого представим функцию
где Рассмотрим отдельное слагаемое этой суммы:
Реакция системы на это воздействие будет иметь вид:
Согласно принципу суперпозиции реакция системы на сумму воздействия равна сумме реакций на отдельные воздействия. Следовательно, реакцию системы на воздействие (17.5.14) можно представить в виде спектрального разложения:
или, обозначая
где Определим спектр этого разложения, Для этого найдем дисперсию комплексной случайной величины
Мы приходим к следующему выводу: при преобразовании стационарной случайной функции стационарнойлинейной системой каждая из ординат ее спектра умножается на квадрат модуля частотной характеристикисистемы для соответствующей частоты. Таким образом, при прохождении стационарной случайной функции через линейную стационарную систему ее спектр определенным образом перестраивается: некоторые частоты усиливаются, некоторые, напротив, ослабляются (фильтруются). Квадрат модуля частотной характеристики (в зависимости от Аналогично тому, как это делалось раньше, перейдем в спектральном представлении случайной функции к пределу при
Таким образом, получено весьма простое правило: При преобразовании стационарной случайной функции стационарной линейной системой ееспектральная плотность умножается на квадрат модуля частотной характеристики системы. Пользуясь этим правилом, мы легко можем решить поставленную выше задачу: по характеристикам случайной функции на входе линейной системы найти характеристики случайной функции на ее выходе. Пусть на вход стационарной линейной системы с оператором (17.5.3) поступает стационарная случайная функция Задачу будем решать в следующем порядке. 1. Находим математическое ожидание на выходе:
2. По корреляционной функции
3. По формуле (17.5.8) находим частотную характеристику системы и квадрат ее модуля:
4. Умножая спектральную плотность на входе на квадрат модуля частотной характеристики, находим спектральную плотность на выходе:
5. По спектральной плотности
Таким образом, поставленная задача решена. Во многих задачах практики нас интересует не вся корреляционная функция
Тогда из формулы (17.5.24) получаем при
или, учитывая четность функции
Пример. Работа линейной динамической системы описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка:
или
На вход системы поступает стационарная случайная функция
где Решение. По формуле (17.5.20) имеем:
Очевидно, величина Спектральную плотность на входе определяем как в примере 1 (см. рис. 17.4.4). По формуле (17.5.8) находим частотную характеристику системы: и квадрат ее модуля:
Затем определяем спектральную плотность на выходе системы:
Далее по формуле (17.5.25) определяем дисперсию на выходе:
Для вычисления интеграла разложим подынтегральное выражение на простые дроби:
и определим коэффициенты:
После интегрирования получим:
В заключение данного
где Реакция системы на воздействие
Слагаемое
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|