Применения теории стационарных случайных процессов к решению задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем

В предыдущем был рассмотрен вопрос о преобразовании стационарной случайной функции стационарнойлинейной системой и получены простые математические приемы решения этой задачи. Преобразование случайной функции свелось к простейшему преобразованию (умножению на квадрат модуля частотной характеристики) одной-единственной функции: спектральной плотности. Такая простота спектральной теориистационарных случайных процессов делает ее незаменимым аппаратом при исследовании линейных динамических систем, работающих в условиях наличия случайных возмущений (помех).

Обычно при решении практических задач нас интересует не сама по себе корреляционная функция на выходе системы, а связанная с нею дисперсия

,

которая характеризует ошибки системы, вызванные поступающими на нее случайными возмущениями, и во многих случаях может служить критерием точности работы системы.

При исследовании динамических систем методами теории случайных функций решаются два вида задач, которые можно назвать «прямыми» и «обратными».

Прямая задача состоит в следующем. Анализируется заданная линейная динамическая система с вполне определенными параметрами, работа которой описывается линейным дифференциальным уравнением:

. (17.6.1)

Требуется исследовать точность работы системы при наличии на ее входе стационарного случайного воздействия - так называемой «стационарной помехи». Для этого, прежде всего исследуется случайная помеха, определяются еекорреляционная функция и спектральный состав. Далее, описанными выше методами находятся спектр и дисперсияслучайней функции на выходе системы. Дисперсия на выходе, очевидно, зависит как от характеристик случайного воздействия на входе, так и от коэффициентов уравнения. Решая такую задачу, можно оценить точность работы заданной системы в условиях различного рода помех.

Обратная задача состоит в том, чтобы так выбрать коэффициенты уравнения (17.6.1), чтобы при заданном спектральном составе помехи ошибки на выходе системы были минимальными. При заданных характеристикахслучайной функции (помехи) на входе системы дисперсия на выходе зависит от всей совокупности коэффициентов уравнения:

.

Коэффициенты уравнения зависят от конструктивных параметров системы, и некоторыми из них при проектировании системы можно в достаточно широких пределах распоряжаться. Задача выбора рациональных значений этих параметров может быть решена исходя из того требования, чтобы дисперсия была минимальна.

Следует оговориться, что на практике часто не удается полностью удовлетворить этому требованию. Действительно, выведенные нами выражения для корреляционной функции и дисперсии на выходе системы справедливы только для значений времени , достаточно удаленных от начала случайного процесса, когда всепереходные процессы в системе, связанные с ее свободными колебаниями, успели уже затухнуть. В действительности же часто приходится применять линейные динамические системы (прицелы, счетно-решающие механизмы, следящие системы и т. п.) на ограниченном участке времени; при этом быстрота затухания переходных процессов в системе существенно зависит от ее конструктивных параметров, т. е. от тех же коэффициентов уравнения (17.6.1). Если выбрать эти коэффициенты так, чтобы они обращали в минимум дисперсию на выходе (для достаточно удаленных моментов времени), это, как правило, приводит к тому, что на выходе системы появляются другие ошибки, связанные с тем, что переходные процессы в системе еще не успели затухнуть. Эти ошибки обычно называют динамическими ошибками.

В связи с ограниченностью времени применения линейных систем и наличием динамических ошибок на практике обычно приходится решать задачу о рациональном выборе параметров системы не на чистом принципе минимума дисперсии, а с учетом динамических ошибок. Рациональное решение задачи находится как компромиссное, при котором, с одной стороны, дисперсия на выходе системы достаточно мала, с другой стороны - динамические ошибки не слишком велики.

В случае, когда ищутся оптимальные параметры системы с учетом как дисперсии, так и систематических динамических ошибок, часто в качестве критерия точности работы системы выбирают второй начальный момент на выходе системы:

, (17.6.2)

где - дисперсия, - систематическая ошибка на выходе системы. При этом параметры системы выбирают так, чтобы они обращали в минимум величину .

Иногда в качестве критерия для оценки системы выбирают не дисперсию и не второй начальный момент, а какую-либо другую величину, связанную с целевым назначением системы. Например, при исследовании прицельных устройств и систем управления, предназначенных для стрельбы, к выбору их параметров часто подходят, исходя из максимума вероятности поражения цели.

Упомянем еще об одной типичной задаче, связанной с рациональным конструированием динамических систем. До сих пор мы рассматривали только задачу о рациональном выборе коэффициентов уравнения (17.6.1), самый же вид уравнения считался заданным. При решении задач, связанных с так называемым синтезом динамических систем, задача ставится более широко. В частности, ставится вопрос о рациональном выборе самого вида уравнения или, еще шире, задача об определении оптимального оператора динамической системы. Такого рода задачи в настоящее время успешно решаются методами теории случайных функций.

При решении практических задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем, часто не удается ограничиться кругом стационарных случайных процессов и относящимся к нему аппаратом спектральной теории. Однако в ряде случаев, несколько видоизменив этот аппарат, можно применить его и для нестационарных процессов. На практике часто встречаются так называемые «квазистационарные» случайные функции и «квазистационарные» динамические системы; они характерны тем, что изменения характеристик случайных функций и параметров системы со временем протекают сравнительно медленно. Для таких случайных процессов В. С. Пугачевым разработан метод, по структуре мало отличающийся от спектрального, но применимый в более широком диапазоне условий.