Понятие о стационарном случайном процессе
На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными. В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: 1) колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета; 2) колебания напряжения в электрической осветительной сети; 3) случайные шумы в радиоприемнике; 4) процесс качки корабля и т. п. Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго; при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики. Образно выражаясь, стационарный процесс «не имеет ни начала, ни конца». Примером стационарного случайного процесса может служить изменение высоты центра тяжести самолета на установившемся режиме горизонтального полета (рис. 17.1.1). Рис. 17.1.1. В противоположность стационарным случайным процессам можно указать другие, явно нестационарные, случайные процессы, например: колебания самолета в режиме пикирования; процесс затухающих колебаний в электрической цепи; процесс горения порохового заряда в реактивной камере и т. д. Нестационарный процесс характерен тем, что он имеет определенную тенденцию развития во времени; характеристики такого процесса зависят от начала отсчета, зависят от времени.
На рис. 17.1.2 изображено семейство реализаций явно нестационарного случайного процесса - процесса изменения тяги двигателя реактивного снаряда во времени. Рис. 17.1.2. Заметим, что далеко не все нестационарные случайные процессы являются существенно нестационарными на всем протяжении своего развития. Существуют нестационарные процессы, которые (на известных отрезках времени и с известным приближением) могут быть приняты за стационарные. Например, процесс наводки перекрестия авиационного прицела на цель есть явно нестационарный процесс, если цель за короткое время с большой и резко меняющейся угловой скоростью проходит поле зрения прицела. В этом случае колебания оси прицела относительно цели не успевают установиться в некотором стабильном режиме; процесс начинается и заканчивается, не успев приобрести стационарный характер. Напротив, процесс наводки перекрестия прицела па неподвижную или движущуюся с постоянной угловой скоростью цель через некоторое время после начала слежения приобретает стационарный характер. Вообще, как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии - с так называемого «переходного процесса». После затухания переходного процесса система обычно переходит на установившийся режим, и тогда случайные процессы, протекающие в ней, могут считаться стационарными. Стационарные случайные процессы очень часто встречаются в физических и технических задачах. По своей природе эти процессы проще, чем нестационарные, и описываются более простыми характеристиками.Линейные преобразования стационарных случайных процессов также обычно осуществляются проще, чем нестационарных. В связи с этим на практике получила широкое применение специальная теория стационарных случайных процессов, или, точнее, теория стационарных случайных функций (так как аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время). Элементы этой теории и будут изложены в данной главе.
Случайная функция В данном элементарном изложении теории случайных функций мы совсем не пользуемся такими вероятностными характеристиками, как законы распределения: единственными характеристиками, которыми мы пользуемся, являются математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Сформулируем определение стационарной случайной функции в терминах этих характеристик. Так как изменение стационарной случайной функции должно протекать однородно по времени, то естественно потребовать, чтобы для стационарной случайной функции математическое ожидание было постоянным:
Заметим, однако, что это требование не является существенным: мы знаем, что от случайной функции Второе условие, которому, очевидно, должна удовлетворять стационарная случайная функция, - это условие постоянства дисперсии:
Установим, какому условию должна удовлетворять корреляционная функция стационарной случайной функции. Рассмотрим случайную функцию Рис. 17.1.3. Положим в выражении
Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция не двух, а всего одного аргумента. Это обстоятельство в ряде случаев сильно упрощает операции над стационарными случайными функциями. Заметим, что условие (17.1.2), требующее от стационарной случайной функции постоянства дисперсии, является частным случаем условия (17.1.3). Действительно, полагая в формуле (17.1.3)
Таким образом, условие (17.1.3) есть единственное существенное условие, которому должна удовлетворять стационарная случайная функция. Поэтому в дальнейшем мы под стационарной случайной функцией будем понимать такую случайную функцию,корреляционная функция которой зависит не от обоих своих аргументов Мы знаем, что корреляционная функция любой случайной функции обладает свойством симметрии:
Отсюда для стационарного процесса, полагая
т. е. корреляционная функция Рис. 17.1.4. На практике, вместо корреляционной функции
где В качестве примеров рассмотрим два образца приблизительно стационарных случайных процессов и построим их характеристики. Пример 1. Случайная функция Рис. 17.1.5 а) Найти ее характеристики
Решение. Так как случайная функция Таблица 17.1.1
Таблицу рекомендуется заполнять по строчкам, передвигаясь все время вдоль одной реализации. Далее находим оценки для характеристик случайных величин
На графике рис. 17.1.5 математическое ожидание показано жирной линией. Далее находим оценки для элементов корреляционной матрицы: дисперсий и корреляционных моментов. Вычисления удобнее всего производить по следующей схеме. Для вычисления статистической дисперсиисуммируются квадраты чисел, стоящих в соответствующем столбце; сумма делится на Таблица 17.1.2.
По главной диагонали таблицы стоят оценки дисперсий:
Извлекая из этих величин квадратные корни, найдем зависимость среднего квадратического отклонения
Деля значения, стоящие в табл. 17.1.2, на произведения соответствующих средних квадратических отклонений, получим таблицу значений нормированной корреляционной функции Таблица 17.1.3
Проанализируем полученные данные под углом зрения предполагаемой стационарности случайной функции
Аналогичным образом осредним оценки для дисперсии:
Извлекая корень, найдем осредненную оценку с. к. о.:
Перейдем к построению нормированной корреляционной функции того стационарного процесса, которым можно заменить случайную функцию
График функции Рис. 17.1.6. При рассмотрении рис. 17.1.6 обращает на себя внимание наличие для некоторых Такой характер корреляционной функции, с переходом на отрицательные значения, очень часто встречается на практике. Обычно в таких случаях по мере увеличения Пример 2. Случайная функция Рис. 17.1.7. Решение. Так как случайная функция
График функции Рис. 17.1.8. Из сравнения графиков рис. 17.1.8 и 17.1.6 видно, что корреляционная функция, изображенная на рис. 17.1.8, убывает значительно быстрее. Это и естественно, так как характер изменения функции При рассмотрении рис. 17.1.8 бросаются в глаза незакономерные колебания функции
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|