Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий
На двух примерах, приведенных в предыдущем Понятие «спектра» встречается не только в теории случайных функций; оно широко применяется в математике, физике и технике. Если какой-либо колебательный процесс представляется в виде суммы гармонических колебаний различных частот (так называемых «гармоник»), то спектром колебательного процесса называется функция, описывающая распределение амплитуд по различным частотам. Спектр показывает, какого рода колебания преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура. Совершенно аналогичное спектральное описание можно дать и стационарному случайному процессу; вся разница в том, что для случайного процесса амплитуды колебаний будут случайными величинами. Спектр стационарнойслучайной функции будет описывать распределение дисперсий по различным частотам. Подойдем к понятию о спектре стационарной случайной функции из следующих соображений. Рассмотрим стационарную случайную функцию Рис. 17.2.1. Задана корреляционная функция случайной функции
Функция и, следовательно, на графике изобразится симметричной кривой (рис. 17.2.2). Рис. 17.2.2. При изменении
Мы знаем, что четную функцию на интервале
где
а коэффициенты
Имея в виду, что функции
Перейдем в выражении (17.2.1) корреляционной функции
и подставим выражение (17.2.5) в формулу (17.2.1):
Мы видим, что выражение (17.2.6) есть не что иное, как каноническое разложение корреляционной функции
Мы знаем, что по каноническому разложению корреляционной функции можно построить каноническое разложение самой случайной функции с теми же координатными функциями и с дисперсиями, равными коэффициентам Следовательно, случайная функция
где
Дисперсии Таким образом, мы получили на интервале Спектральное разложение изображает стационарную случайную функцию разложенной на гармонические колебания различных частот: причем амплитуды этих колебаний являются случайными величинами.
Определим дисперсию случайной функции
Таким образом, дисперсия стационарной случайной функции равна сумме дисперсий всех гармоник ее спектрального разложения. Формула (17.2.9) показывает, что дисперсия функции Рис. 17.2.3. Очевидно, сумма всех ординат построенного таким образом спектра равна дисперсии случайной функции.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|