Спектральное разложение случайной функции в комплексной форме
В ряде случаев с точки зрения простоты математических преобразований оказывается удобным пользоваться не действительной, а комплексной формой записи как спектрального разложения случайной функции, так и ее характеристик: спектральной плотности и корреляционной функции. Комплексная форма записи удобна, в частности, потому, что всевозможные линейные операции над функциями, имеющими вид гармонических колебаний (дифференцирование, интегрирование, решение линейных дифференциальных уравнений и т. д.), осуществляются гораздо проще, когда эти гармонические колебания записаны не в виде синусов и косинусов, а в комплексной форме, в виде показательных функций. Комплексная форма записи корреляционной функции и спектральной плотности применяется и в тех случаях, когда сама случайная функция (а следовательно, и еекорреляционная функция и спектральная плотность) действительна. Покажем, как можно в спектральном разложении случайной функции чисто формально перейти от действительной формы к комплексной. Рассмотрим спектральное разложение (17.2.8) случайной функции
где
Учитывая, что
Придадим спектральному разложению (17.4.2) комплексную форму. Для этого воспользуемся известными формулами Эйлера:
Подставляя эти выражения в формулу (17.4.2), имеем:
т. е. разложение с координатными функциями Преобразуем разложение (17.4.3) так, чтобы в нем в качестве координатных функций фигурировали только функции
т. е. будем считать, что
если положить
Формула (17.4.4) представляет собой разложение случайной функции
где
Докажем, что разложение (17.4.5) является каноническим разложением случайной функции Рассмотрим сначала коэффициенты двух различных членов разложения в положительной части спектра
где При
так как случайные величины Совершенно так же докажем некоррелированность величин Остается доказать только некоррелированность коэффициентов при симметричных членах разложения, т. е. величин
Учитывая, что величины
Таким образом, доказано, что разложение (17.4.5) представляет собой не что иное, как каноническое разложениеслучайной функции Найдем дисперсии этих коэффициентов. При
Введем обозначение:
и построим дискретный спектр случайной функции Рис. 17.4.1. Этот спектр симметричен относительно оси ординат; от ранее построенного спектра (рис. 17.2.3) он отличается тем, что определен не только для положительных, но и для отрицательных частот, но зато его ординаты при
Определим корреляционную функцию случайной функции
или, переходя к аргументу
где
Придадим выражению (17.4.9) также комплексную форму. Полагая
получим:
Полагая во втором интеграле
откуда
Таким образом, мы построили комплексную форму спектрального разложения случайной функции на конечном интервале и получить в пределе из формул (17.4.8), (17.4.10) интегральные соотношения, связывающиекорреляционную функцию и спектральную плотность в комплексной форме. В пределе при
Формулы (17.4.11) и (17.4.12) представляют собой комплексную форму преобразований Фурье, связывающихкорреляционную функцию и спектральную плотность. Формулы (17.4.11) и (17.4.12) могут быть и непосредственно получены из формул (17.3.9) и (17.3.10), если произвести в них замену
положить Полагая в формуле (17.4.11)
Формула (17.4.13) выражает дисперсию случайной функции в виде суммы элементарных дисперсий, распределенных с некоторой плотностью по всему диапазону частот от Сравнивая формулу (17.4.13) и ранее выведенную (для действительной формы спектрального разложения) формулу (17.3.2), мы видим, что они различаются лишь тем, что в формуле (17.4.13) стоит несколько иная функцияспектральной плотности
Рис. 17.4.2. Иногда в качестве аргумента спектральной плотности рассматривают не круговую частоту (
В этом случае подстановкой
или, вводя обозначение
Функция
Все приведенные нами и некоторые другие применяемые на практике выражения спектральной плотности, очевидно, отличаются друг от друга только масштабом. Каждую из них можно нормировать, деля соответствующую функцию спектральной плотности на дисперсию случайной функции. Пример 1. Корреляционная функция случайной функции
где Рис. 17.4.3. Пользуясь комплексной формой преобразования Фурье, определить спектральную плотность Решение. По формуле (17.4.12) находим:
График спектральной плотности представлен на рис. 17.4.4. Рис. 17.4.4. Посмотрим, как будут вести себя корреляционная функция и спектральная плотность при изменении При уменьшении При увеличении
Пример 2. Нормированная корреляционная функция случайной функции (рис. 17.4.5). Рис. 17.4.5. Определить нормированную спектральную плотность. Решение. Представляем
Нормированную спектральную плотность
откуда после элементарных преобразований получаем:
Вид графика спектральной плотности зависит от соотношения параметров В качестве иллюстрации на рис. 17.4.6 изображены нормированные спектральные плотности для случаев: Рис. 17.4.6. 1)
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|