Сформулируйте и докажите теорему сложения вер-тей для любых событий A и B. Что такое правило сложения вер-тей для несовместных соб. A и B?
Пространство элемент. событий? случ соб? исходы благоприятные для А? вероятность А? примеры. Можно ли в опыте с бросанием игральной кости считать элемент. события: А – выпадение числа очков, меньших 2; В – выпадение более 2 очков?
Пространством элемент событий называется мн-во
(омега), состоящее из исходов или элемент событий
, из кот происходит одно. Случ событие - любое подмн-во пространства элемент. событий А
. Исходы
А – благоприятны для события А. Событие А наступило, если в опыте наблюдался один из благоприятных исходов. Р случ события А - отношение числа благоприятных исходов k к общему числу исходов n: P(A) =
(классич определении Р). Пример. В опыте с подбрасыванием монеты пространство элементарных событий состоит из двух исходов
=
, вероятность выпадания герба А=
равна P(A)=0.5. Пространство элемент. событий состоит из 6 исходов
=
. Т.е. А =
, В=
. А- это элементарное событие, тк состоит из 1 элементарного события; В – не будет элементарным событием, тк состоит из др. элементарных событий.
4. достоверные и невозможные соб., их вероятности? Пусть A, B и C – случ соб. Перечислите все случаи наступления события
.
Достоверное - кот произойдет при любом испытании А =
. Например, в опыте с подбрасыванием кости А, задаваемое условием “число выпавших очков положительное”, будет достоверным. Р = 1. Невозможное - кот не может произойти при испытании А= V или ø. Например, событие А, задаваемое условием “при подбрасывании кости выпало 7 очков”, является невозможным. Р =0.
Таблица, характеризующая событие А
+С
А
| В
| С
| А +С
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.В каком случае событие В называют следствием события А? Какие события называются равными? Объясните, почему
.
Соб А влечет за собой соб В или В является следствием соб А (А
В), если каждый исход, благоприят для А, является благоприят и для В. Соб А и В равны (А=В) в случае, когда они являются следствиями друг друга. I)А
АВ+А
.Если А наступило(А=1), то: 1) если В при этом наступило, то наступило АВ
АВ+А
наступило; 2) если В не наступило, то
=1
А
=1
АВ+А
наступило. II) АВ+А
А. Если АВ+А
наступило, то либо АВ наступило (т.е А наступило
АВ+А
А) либо наступило А
(А наступило
АВ+А
А). Соб А наступает, т.к. любое соб А попадает в В или
. А=А(
)=А*
=А.
6. Пусть А и В – случ соб. Упростите
. Найдите соб, противоп ему.
(А+В)(А+
) = АА+А
+АВ+В
=А+А(В+
)

7. Докажите, что
. Что обозначает соб
?
=
*
*…..*
. Наступление соб А
+….А
означает, что наступает по меньшей мере одно из соб А
,….,А
. Наступление противоп соб
означает, что не наступает ни одно из соб А
,….,А
или наступают одновременно все соб
,….,
, но это в точности означает наступление соб
*
*…..*
. А
А
+ А
А
+
А
А
: означает наступление ровно двух соб из трех.
8. Докажите, что
=
+
+…..+
. Что означает соб А
А
+ А
А
+ А
А
?
=
+
+…..+
. Наступление соб А
*….*А
означает, что наступают каждое из соб А
,….,А
. Наступление противоп соб
означает, что не наступает хотя бы одно из собА
,….,А
или наступают соб
+
+…..+
. А
А
+ А
А
+ А
А
: означает наступление не меньше двух соб или = 2
9. Сформулируйте статистическое определение Р. Поч Р удовлетворяет условию
? Возможны случаи Р=0 и Р=1?
Р случ соб-положит число, заключенное между 0 и 1. Случ соб благоприятствует лишь часть из общего числа элемент исходов испытания. В этом случае 0<m<n, значит, 0<m/n<1⇒0<P(A)<1. Р любого соб удовлетворяет двойному нер-ву 0≤Р(А)≤1. Статистич Р -относит частота его реализации при большом кол-ве исрытаний m/n. Св-ва Р вытекают из классич определения и сохраняются для статистич. Возможны. А- выпала игральная кость, числа которой > 7, P(A)=0. В- выпала игральная кость, числа которой < 7, P(A)=1
Сформулируйте и докажите теорему сложения вер-тей для любых событий A и B. Что такое правило сложения вер-тей для несовместных соб. A и B?
Теорема слож.Р д ля любых соб. A и B - P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) сумма Р соб. без Р их совмест наступления. Док-во: Обозначим через n=
- общее число исходов, ns- число исходов, благоприятных для соб. S.Тогда формулу
=
+
–
можно переписать след. образом nA+B=nA+nB-nAB(*).
Разделив почленно формулу (*) на n, получим формулу P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
Правило сложения вер-тей. Если соб. A и B несовместны, то P(A+B)=P(A)+P(B).Док-во:Т.е. соб. A и B несовместны, то P(AB)=0, поэтому из формулы P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), получим P(A+B)=P(A)+P(B).
11 Какие соб.A1,A2,…An называются попарно несовместными? Сформулируйте правило сложения вер-тей для попарно несовместных соб. A1, A2, …An. Приведите пример попарно несовместных событий A,B, и C, таких что P(A+B+C)<1?
A1,A2,…An – попарно несовместны, если два из них не выполняются одновременно. Исходя из следствия, можно сказать, что вер-ть появления одного из нескольких попарно несовместных соб., безразлично какого, равно сумме вер-тей этих соб. P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). Док-во: Рассмотрим 3 соб.A,B,C. Т.к. рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, A,B,C, равносильно наступлению одного из двух соб,A+B и C, поэтому в силу указанной теоремы
P(A+B+C)=P
=P(A+B)+P(C) =P(A)+P(B)+P(C). Пример: Существуют 5 карточек с написанными цифрами: 1,2,3,4,5. è
. Соб.А – вытащили карточку с числами, делящимися на 2, В – делящ. на 3, С – делящ. на 5. Соб А,В,С попарно независимы. АВ=
, АС=
, ВС=
. è P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
,
,
èP(A+B+C)=0,4+0,2+0,2=0,8<1.
12 поч Р(А+В)≤Р(А)+Р(В) для соб A и B. Чему = сумма P(A)+P(
) Р противоп соб?
А и В – как сов., так и несов. события. Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ).
Когда мы считаем P(А+В), то при сложении Р(А) и Р(В) мы дважды учитываем пересечение, то есть его надо вычесть: Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А`В)+Р(А+В)- Р(А`В)ÞР(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В); Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ); Р(А+В)≤Р(А)+Р(В). Исходя из следствий (теорема сложения Р) можно сказать, что сумма Р противоп соб =1. P(A)+P(
)=1. Т.к. соб A и
несовместны, поэтому можно применить формулу P(A+B)=P(A)+P(B). При этом следует использовать то, что соб A+
- достоверное, поэтому его Р =1.Также используют такую формулу, выражающую Р соб A через Р противоп соб
. P(A)=1-P(
)
13 Верно ли, что если соб A - следствие события B,то P(A) ≤ P(B)?
Да т.к. согласно следствию: если соб B явл. следствием соб. A, то P(A) ≤ P(B). Т.к. A
B, то B=A+(B/A)- сумма несовместных соб. Применяя правило сложения Р, имеем P(B)=P(A)+P(B/A), откуда следует нер-во P(A) ≤ P(B)
14. условная Р
, его статистическую интерпретация? примеры, когда: 1) Р(А/В)>Р(А); 2) Р(А/В)<Р(А);
Пусть А и В случ соб по отношению к какому-либо опыту причем P(B) неравно 0. число РB(А)=Р(АВ)/Р(В)- Р соб А при условии что соб В уже наступило или просто условной Р А. Наличие условной Р (РB(А)≠Р(А)) между соб определяет их взаимосвязь. Статистич интерпретация: Рассмотрим некий эксперимент и соб. А и В. Пусть
- число опытов, в которых произойдет соб А при условии что В тоже произойдет. 1) РB(А)>Р(А) бросаем кость, В- выпало четное, А-выпала двойка. Р(А)=1/6 РB(А)=1/3. 2) РB(А)<Р(А) в коробке лежит 3 белых и 3 черных шара вытащили 1 шар, А – вытащить черный шар, В- из коробки предварительно вынули шар оказавшийся черным. Р(А)=1/2 РB(А)=2/5
Воспользуйтесь поиском по сайту: