Сформулируйте и докажите теорему сложения вер-тей для любых событий A и B. Что такое правило сложения вер-тей для несовместных соб. A и B?

Пространство элемент. событий? случ соб? исходы благоприятные для А? вероятность А? примеры. Можно ли в опыте с бросанием игральной кости считать элемент. события: А – выпадение числа очков, меньших 2; В – выпадение более 2 очков?

Пространством элемент событий называется мн-во (омега), состоящее из исходов или элемент событий , из кот происходит одно. Случ событие - любое подмн-во пространства элемент. событий А . Исходы А – благоприятны для события А. Событие А наступило, если в опыте наблюдался один из благоприятных исходов. Р случ события А - отношение числа благоприятных исходов k к общему числу исходов n: P(A) = (классич определении Р). Пример. В опыте с подбрасыванием монеты пространство элементарных событий состоит из двух исходов = , вероятность выпадания герба А= равна P(A)=0.5. Пространство элемент. событий состоит из 6 исходов = . Т.е. А = , В= . А- это элементарное событие, тк состоит из 1 элементарного события; В – не будет элементарным событием, тк состоит из др. элементарных событий.

 

4. достоверные и невозможные соб., их вероятности? Пусть A, B и C – случ соб. Перечислите все случаи наступления события .

Достоверное - кот произойдет при любом испытании А = . Например, в опыте с подбрасыванием кости А, задаваемое условием “число выпавших очков положительное”, будет достоверным. Р = 1. Невозможное - кот не может произойти при испытании А= V или ø. Например, событие А, задаваемое условием “при подбрасывании кости выпало 7 очков”, является невозможным. Р =0.

Таблица, характеризующая событие А +С

А	В	С	А +С

 

5.В каком случае событие В называют следствием события А? Какие события называются равными? Объясните, почему .

Соб А влечет за собой соб В или В является следствием соб А (А В), если каждый исход, благоприят для А, является благоприят и для В. Соб А и В равны (А=В) в случае, когда они являются следствиями друг друга. I)А АВ+А .Если А наступило(А=1), то: 1) если В при этом наступило, то наступило АВ АВ+А наступило; 2) если В не наступило, то =1 А =1 АВ+А наступило. II) АВ+А А. Если АВ+А наступило, то либо АВ наступило (т.е А наступило АВ+А А) либо наступило А (А наступило АВ+А А). Соб А наступает, т.к. любое соб А попадает в В или . А=А()=А* =А.

 

6. Пусть А и В – случ соб. Упростите . Найдите соб, противоп ему.

(А+В)(А+ ) = АА+А +АВ+В =А+А(В+ )

7. Докажите, что . Что обозначает соб ?

= * *…..* . Наступление соб А +….А означает, что наступает по меньшей мере одно из соб А ,….,А . Наступление противоп соб означает, что не наступает ни одно из соб А ,….,А или наступают одновременно все соб ,…., , но это в точности означает наступление соб * *…..* . А А + А А + А А : означает наступление ровно двух соб из трех.

 

8. Докажите, что = + +…..+ . Что означает соб А А + А А + А А ?

= + +…..+ . Наступление соб А *….*А означает, что наступают каждое из соб А ,….,А . Наступление противоп соб означает, что не наступает хотя бы одно из собА ,….,А или наступают соб + +…..+ . А А + А А + А А : означает наступление не меньше двух соб или = 2

 

9. Сформулируйте статистическое определение Р. Поч Р удовлетворяет условию ? Возможны случаи Р=0 и Р=1?

Р случ соб-положит число, заключенное между 0 и 1. Случ соб благоприятствует лишь часть из общего числа элемент исходов испытания. В этом случае 0<m<n, значит, 0<m/n<1⇒0<P(A)<1. Р любого соб удовлетворяет двойному нер-ву 0≤Р(А)≤1. Статистич Р -относит частота его реализации при большом кол-ве исрытаний m/n. Св-ва Р вытекают из классич определения и сохраняются для статистич. Возможны. А- выпала игральная кость, числа которой > 7, P(A)=0. В- выпала игральная кость, числа которой < 7, P(A)=1

Сформулируйте и докажите теорему сложения вер-тей для любых событий A и B. Что такое правило сложения вер-тей для несовместных соб. A и B?

Теорема слож.Р д ля любых соб. A и B - P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) сумма Р соб. без Р их совмест наступления. Док-во: Обозначим через n= - общее число исходов, ns- число исходов, благоприятных для соб. S.Тогда формулу = + – можно переписать след. образом nA+B=nA+nB-nAB(*).

Разделив почленно формулу (*) на n, получим формулу P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Правило сложения вер-тей. Если соб. A и B несовместны, то P(A+B)=P(A)+P(B).Док-во:Т.е. соб. A и B несовместны, то P(AB)=0, поэтому из формулы P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), получим P(A+B)=P(A)+P(B).

11 Какие соб.A1,A2,…An называются попарно несовместными? Сформулируйте правило сложения вер-тей для попарно несовместных соб. A1, A2, …An. Приведите пример попарно несовместных событий A,B, и C, таких что P(A+B+C)<1?

A1,A2,…An – попарно несовместны, если два из них не выполняются одновременно. Исходя из следствия, можно сказать, что вер-ть появления одного из нескольких попарно несовместных соб., безразлично какого, равно сумме вер-тей этих соб. P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). Док-во: Рассмотрим 3 соб.A,B,C. Т.к. рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, A,B,C, равносильно наступлению одного из двух соб,A+B и C, поэтому в силу указанной теоремы

P(A+B+C)=P =P(A+B)+P(C) =P(A)+P(B)+P(C). Пример: Существуют 5 карточек с написанными цифрами: 1,2,3,4,5. è . Соб.А – вытащили карточку с числами, делящимися на 2, В – делящ. на 3, С – делящ. на 5. Соб А,В,С попарно независимы. АВ= , АС= , ВС= . è P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).

, , èP(A+B+C)=0,4+0,2+0,2=0,8<1.

12 поч Р(А+В)≤Р(А)+Р(В) для соб A и B. Чему = сумма P(A)+P() Р противоп соб?

А и В – как сов., так и несов. события. Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ). Когда мы считаем P(А+В), то при сложении Р(А) и Р(В) мы дважды учитываем пересечение, то есть его надо вычесть: Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А`В)+Р(А+В)- Р(А`В)ÞР(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В); Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ); Р(А+В)≤Р(А)+Р(В). Исходя из следствий (теорема сложения Р) можно сказать, что сумма Р противоп соб =1. P(A)+P()=1. Т.к. соб A и несовместны, поэтому можно применить формулу P(A+B)=P(A)+P(B). При этом следует использовать то, что соб A+ - достоверное, поэтому его Р =1.Также используют такую формулу, выражающую Р соб A через Р противоп соб . P(A)=1-P()

13 Верно ли, что если соб A - следствие события B,то P(A) ≤ P(B)?

Да т.к. согласно следствию: если соб B явл. следствием соб. A, то P(A) ≤ P(B). Т.к. A B, то B=A+(B/A)- сумма несовместных соб. Применяя правило сложения Р, имеем P(B)=P(A)+P(B/A), откуда следует нер-во P(A) ≤ P(B)

14. условная Р , его статистическую интерпретация? примеры, когда: 1) Р(А/В)>Р(А); 2) Р(А/В)<Р(А);

Пусть А и В случ соб по отношению к какому-либо опыту причем P(B) неравно 0. число Р_B(А)=Р(АВ)/Р(В)- Р соб А при условии что соб В уже наступило или просто условной Р А. Наличие условной Р (Р_B(А)≠Р(А)) между соб определяет их взаимосвязь. Статистич интерпретация: Рассмотрим некий эксперимент и соб. А и В. Пусть - число опытов, в которых произойдет соб А при условии что В тоже произойдет. 1) Р_B(А)>Р(А) бросаем кость, В- выпало четное, А-выпала двойка. Р(А)=1/6 Р_B(А)=1/3. 2) Р_B(А)<Р(А) в коробке лежит 3 белых и 3 черных шара вытащили 1 шар, А – вытащить черный шар, В- из коробки предварительно вынули шар оказавшийся черным. Р(А)=1/2 Р_B(А)=2/5

123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: