 |
Пример выполнения лабораторной работы.
|
|
|
|
| Уравнение | Отрезок | Точность |
| y = x - 2 + SIN(1 / x) | (1; 3) | 10ˉ³ |
Решить уравнение методом дихотомии, простой итерации, методом касательных.
a=1
b=3
F(x) = x - 2 + SIN(1 / x) - исходная функция
G (x) = 2 - SIN(1 / x) - приведенная функция
F1 (x) = 1+cos(1/x) 1-ая ПРОИЗВОДНАЯ ОТ F
F2 (x) = -sin(1/x) 2-ая ПРОИЗВОДНАЯ ОТ F
G1(x)=-cos(1/x) 1-ая ПРОИЗВОДНАЯ ОТ G
e = 0.001
БЛОК-СХЕМА
ВИД ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ QBASIC
DECLARE SUB iter (x0!, e!, kol!, root!)
DECLARE SUB iter (x0!, e!, kol!, root!)
DECLARE SUB dix (a!, b!, e!, root!)
DECLARE SUB kas (a!, b!, x!, e!, root!)
DECLARE FUNCTION F! (x!)
DECLARE FUNCTION G! (x!)
DECLARE FUNCTION F1! (x!)
DECLARE FUNCTION F2! (x!)
DECLARE FUNCTION G2! (x!)
REM численное решение не линейных уравнений
'уточнение корня методами касательных/дихот/ньютона/итерации
CLS
PRINT "проверка существования корня"
PRINT " y = = x - 2 + SIN(1 / x)"
REM ввод отрезка с проверкой на сущ решения
DO
INPUT "a= "; a
INPUT "b= "; b
INPUT "точность решения Eps="; e
LOOP WHILE F(a) * F(b) > 0
REM мет дихотомии или метод деления отрезка пополам
CALL dix(a, b, e, root)
PRINT "корень ур по методу дихотомии="; root
PRINT "значение функции F(x)=";
PRINT USING " ##.######"; F(root)
PRINT "-------------------------------------------"
REM метод касательных или метод Ньютона
INPUT "введите начальное значение корня на (a,b) X0="; x
IF F(x) * F2(x) > 0 THEN
PRINT "метод касательных(Ньютона) Применим"
a = 1: b = 3
CALL kas(a, b, x, e, root)
PRINT "корень по методу касательных="; root
PRINT "значение функции F(x)=";
PRINT USING " ##.######"; F(root)
ELSE
PRINT "метод касательных(Ньютона) НЕ Применим"
END IF
PRINT "-------------------------------------------"
REM метод итерации
INPUT "введите XO="; x0
IF ABS(G1(x)) < 1 THEN
PRINT "метод Не применим"
ELSE
a = 1: b = 3
CALL iter(x0, e, kol, root)
PRINT "корень по методу итерации="; root
PRINT " количество итераций k="; kol
PRINT "значение функции F(x)=";
|
|
|
PRINT USING " ##.######"; F(root)
END IF
END
SUB dix (a, b, e, root)
x = (a + b) / 2
DO
IF F(x) * F(a) < 0 THEN
b = x
ELSE
a = x
END IF
x = (b + a) / 2
LOOP UNTIL (b - a) < e
root = (b + a) / 2
END SUB
FUNCTION F (x)
F = x - 2 + SIN(1 / x)
END FUNCTION
FUNCTION F1 (x)
F1 = 1 + COS(1 / x)
END FUNCTION
FUNCTION F2 (x)
F2 = -SIN(1 / x)
END FUNCTION
FUNCTION G (x)
G = 2 - SIN(1 / x)
END FUNCTION
FUNCTION G1 (x)
G1 = -COS(1 / x)
END FUNCTION
SUB iter (x0, e, kol, root)
kol = 0
x = x0
DO
y = F1(x)
kol = kol + 1
x = y
LOOP UNTIL ABS(y - x) < e
root = y
END SUB
SUB kas (a, b, x, e, root)
DO
x = x - F(x) / F1(x)
LOOP UNTIL ABS(F(x) / F1(x)) < e
root = x
END SUB
РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ В QBASIC
РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ в Eureka.
Рекомендации по решению задачи:
1. Решить задачу, используя ППП Eureka.
2. Исходя из полученного решения, выбрать границы существования корня.
3. Составить блок – схему решения и программу на QBasic.
Контрольные вопросы
«Уточнение корня уравнения»
1. В чем заключается геометрический смысл метода половинного деления?
2. Какой оператор цикла используется в процедуре дихотомии?
3. Какими свойствами должна обладать функция F(x), чтобы методом половинного деления можно было гарантировать решение уравнения F(x)?
4. Что необходимо для нахождения хотя ы одного действительного корня уравнения F(x) методом половинного деления?
5. Какие процедуры функции используются в программе?
6. Какой функцией заменяется левая часть уравнения F(x)=0 в методе итерации?
7. Что называется сходимостью метода итерации?
8. Каково условие сходимости метода итерации и как это условие проверяется в программе?
9. В чем заключается геометрическая интерпретация метода Ньютона?
10. Исходя из чего выбирается в методе Ньютона первое приближение Х0
11. Для чего в программе предусмотрена процедура-функции для второй производной от исходной функции?
Варианты заданий для самостоятельного решения
Задание.
1. Уточнить корень уравнения, используя следующие методы:
- метод половинного деления;
- метод простой итерации;
- метод касательных (Ньютона).
|
|
|
2. Для вариантов заданий, представленных в таблице 4, выбрать точность вычисления.
3. Для вариантов заданий, представленных в таблице 6, вычислить корень с заданной точностью.
4. Для вариантов заданий, представленных в таблице 7,8,9, установить границы существования корня, точность вычисления, установить границы существования корня.
Таблица заданий № 4.
| П\П | Вид уравнения | Начальное приближение корня |
| 1. | x – sin 2x – 1 = 0 | |
| 2. | 2x ^ 3 + 4x – 1 = 0 | 0.1 |
| 3. | x ^ 3 + 12x – 2 = 0 | 0.95 |
| 4. | 5 – x – 8lnx = 8 | 4.32 |
| 5. | x ^ 3 + x = 1000 | 9.42 |
| 6. | x – sin x = 0.25 | 1.17 |
| 7. | x ^ 3 – 6x ^ 2 + 20 = 0 | 2.25 |
| 8. | 5x ^ 3 + 10x ^ 2 + 5x – 1 = 0 | 0.6 |
| 9. | 3sin  +0.34x-3.8 =0
| |
| 10. | x – 3 + sin (3.6x) = 0 | |
| 11. | arcos(x)-  = 0
| |
| 12. | √1- 0.4x ^ 2 – arcsin x = 0 | |
| 13. | x – 2 + sin x = 0 | 1.2 |
| 14. | 1 – x + sin x – ln (1 + x) = 0 | |
| 15. | x ^ 2 – ln (1 + x) – 3 = 0 | |
| 16. | x ^ 3 + x ^ 2 – 3 = 0 | 0.6 |
| 17. | x ^ 3 – x – 0.2 = 0 | 0.9 |
| 18. | 5x ^ 3 – x – 1 = 0 | 0.6 |
| 19. | x ^ 3 – 2x – 5 = 0 | 1.9 |
| 20. | x ^ 3 + x = 1000 | 9.1 |
| 21. | x ^ 4 + 2x ^ 3 – x – 1 = 0 | |
| 22. | x ^ 3 – x – 2 = 0 | 0.9 |
| 23. | x – sin x/2 – 1 = 0 | |
| 24. | 2 ^ 3 + 4x – 1 = 0 | 0.1 |
| 25. | x ^ 3 + 12x – 2 = 0 | 0.95 |
Таблица заданий № 5
| П\П | Вид уравнения | Отрезок |
| 1. | 0.25x ^ 3 + x – 1.2502 = 0 | 0, 2 |
| 2. | 0.1x ^ 2 – xlnx = 0 | 1, 2 |
| 3. | 3x – 4lnx – 5 = 0 | 2, 4 |
| 4. | e ^ x – e ^ -x – 2 = 0 | 0, 1 |
| 5. | e ^ x + lnx – 10x = 0 | 3, 4 |
| 6. | 3x – 14 + e ^ x – e ^ -x = 0 | 1, 3 |
| 7. | 3ln ^ 2x + 6lnx– 5 = 0 | 1, 3 |
| 8. | 2xsinx – cosx = 0 | 0.4, 1 |
| 9. | xtgx – 1\3 = 0 | 0.2, 1 |
| 10. | √ 1 – x - cos√ 1 – x = 0 | 0, 1 |
Таблица заданий № 6
| № вар. | Уравнение | Интервал | Точность |
| 1. | x – 1\ (2 + sin2x) = 0 | [0; 1] | 10 ־³ |
| 2. | arcsin(x\3) - √ 1 – (x\3) ^ 2 = 0 | [ 1,5; 3] | 10 ־³ |
| 3. | x - √ 9 –x+ x ^ 2 = 0 | [1; 2] | 10 ־³ |
| 4. | √1 – x ^ 2 - arcsin x = 0 | [0; 1] | 10 ־³ |
| 5. | tgx – (1/3)(tgx)^3 + (1/5)(tg x) ^ 5 – 1/3 = 0 | [0; 0,8] | 10 ־³ |
| 6. | e ^ x – e (- x) – 2 = 0 | [0; 1] | 10 ־³ |
| 7. | cosx – e(-(x ^ 2) / 2) + x – 1 = 0 | [0; 2] | 10 ־³ |
| 8. | sin(x ^ 2) + cos(x ^ 2) – 10x = 0 | [0; 1] | 10 ־³ |
| 9. | 3sin√x + 0,35x – 3,8 = 0 | [2; 3] | 10 ־³ |
| 10. | √1 – 0,4 (x ^ 2) – arcsinx = 0 | [0; 1] | 10 ־³ |
| 11. | 1/4(x ^ 3) + x – 1,25 = 0 | [0; 1] | 10 -5 |
| 12. | x – sin(x + 2) = 0 | [0; 1] | 10 -5 |
| 13. | √1 – x - cos√1 – x = 0 | [0; 1] | 10 ־³ |
| 14. | 0,1(x ^ 2) – x lnx = 0 | [1; 2] | 10 ־³ |
| 15. | 3x – 4 lnx – 5 = 0 | [1;4] | 10 ־³ |
| 16. | e ^ x + lnx – 10 x = 0 | [1; 4] | 10 ־³ |
| 17. | x tgx – 1/3 = 0 | [0; 1] | 10 ־³ |
| 18. | 0,25(x ^ 3) + x – 1,25 = 0 | [0; 2] | 10 ־³ |
| 19. | 3x – 14 + e ^ x + e (-x) = 0 | [1; 3] | 10 ־³ |
| 20. | 2x sinx – cosx = 0 | [0,4; 1] | 10 ־³ |
| 21. | 1/(1 + x ^ 2) – x = 0 | [1; 2] | 10 ־³ |
| 22. | .(tg x) ^ 2 – x = 0 | [1; 2] | 10 ־³ |
| 23. | x + ln(х + 0.5) - 0.5 = 0 | [0;2] | 10 ־³ |
| 24. | x ^3 – х - 0.2 = 0 | [1;1,1] | 10 ־³ |
| 25. | x^ 4 + 2х^ 3 – х – 1 = 0 | [0; 1] | 10 ־³ |
| 26. | x ^ 3 – 0.2х^ 2 - 0.2х - 1.2 = 0 | [1;1,5] | 10 ־³ |
| 27. | 2sin^2х/3 – Зсоs^2х/4 = 0 | [0;П/2] | 10־³ |
| 28. | x ^ 4 + 0.8х ^ 3 - 0.4х ^ 2 - 1.4х - 1.2 = 0 | [-1,2;-0,5] | 10־³ |
| 29. | x ^ 4 - 4.1х ^ 3 + х^ 2 - 5.1х + 4.1 = 0 | [3,7;5] | 10־³ |
| 30. | х2 ^ х – 1 = 0 | [0;1] | 10־³ |
|
|
|
Таблица заданий № 7
| № вар | Уравнение | № вар | Уравнение |
| 1. | x – sinx = 0,25 16. | 16. | tg(0,3x + 0,4) = x ^ 2 |
| 2. | tg(0,58x + 0,1) = x ^ 217. | 17. | x ^ 2 – 20sinx = 0 |
| 3. | √x – cos(0,387x) = 018. | 18. | ctgx – x/4 = 0 |
| 4. | tg(0,4x + 0,4) = x ^ 2 19. | 19. | tg(0,47x + 0,20 = 0 |
| 5. | lgx – 7/(2x + 6) = 020. | 20. | x ^ 2 + 4sinx = 0 |
| 6. | tg(0,5x + 0,2) = x ^ 2 21. | 21. | ctgx – x/2 = 0 |
| 7. | 3x – cosx – 1 = 022. | 22. | 2x – lgx – 7 = 0 |
| 8. | x + lgx = 0,523. | 23. | tg(0,44x + 0,30 = 0 |
| 9. | tg(0,5x + 0,1) = x ^ 2 24. | 24. | 3x – cosx – 1 = 0 |
| 10. | x ^ 2 + 4sinx = 025. | 25. | ctgx – x/10 = 0 |
| 11. | ctg1,05x – x ^ 2 = 026. | 26. | x ^ 2 + 4sinx = 0 |
| 12. | tg(0,4x + 0,3) = x ^ 2 27. | 27. | tg(0,36x + 0,4) = 0 |
| 13. | xlgx – 1,2 = 028. | 28. | x + lgx = 0,5 |
| 14. | 1,8x ^ 2 – sin10x = 0 29. | 29. | ctgx – x/5 = 0 |
| 15. | ctgx – x/4 = 030. | 30. | 2lgx – x/2 + 1 = 0 |
Таблица заданий № 8
| № вар | Уравнение | № вар | Уравнение |
| 1. | x ^ 3 – 3x ^ 2 + 9x – 8 = 0. | x ^ 3 + 4x – 6 = 0 | |
| 2. | x ^ 3 – 6x – 8 = 0 | x ^ 3 + 0,2x ^ 2 + 0,5x + 0,8 = 0 | |
| 3. | x ^ 3 – 3x ^ 2 + 6x + 3 = 0 | x ^ 3 – 3x 62 + 12x – 12 = 0 | |
| 4. | x ^3 – 0,1x ^ 2 + 0,4x –1,5 = 0 | x ^3 -0,2 x^2 + 0,3x + 1,2 = 0 | |
| 5. | x ^ 3 – 3x ^ 2 + 9x + 2= 0 | x ^ 3 – 2x + 4 = 0 | |
| 6. | x ^ 2 + x – 5 = 0 | x ^ 3 – 0,2x ^ 2 + 0,5x – 1,4 = 0 | |
| 7. | x ^ 3+ 0,2 x ^2 +0,5x –1,2 = 0 | x ^ 3 – 3x ^ 2 + 6x – 5 = 0 | |
| 8. | x ^ 3 + 3x + 1 = 0 | x ^ 3 – 0,1x ^ 2 + 0,4x + 1,2 = 0 | |
| 9. | x ^ 3 + 0,2x ^ 2 + 0,5x – 2 = 0 | x ^ 3 – 0,2x ^ 2 + 0,5x – 1 = 0 | |
| 10. | x ^ 3 – 3x ^ 2 + 12x – 9 = 0 | x ^ 3 + 3x ^ 2 + 12x + 3 = 0 | |
| 11. | x ^3 –0,2x ^ 2 + 0,3x – 1,2 = 0 | x ^ 3 – 0,1x ^ 2 + 0,4x + 2 = 0 | |
| 12. | x ^ 3 – 3x ^ 2 + 6x – 2 = 0 | x ^ 3 – 0,2 x ^ 2 + 0,4x – 1,4 = 0 | |
| 13. | x ^ 3 –0,1x ^ 2 +0,4x –1,5 = 0 | x ^ 3 + 0,4x ^ 2 + 0,6x – 1,6 = 0 | |
| 14. | x ^ 3 + 3x ^ 2 + 6x – 1 = 0 | x ^3 + x – 3 = 0 | |
| 15. | x ^ 3 +0,1x ^ 2+0,4x –1,2 = 0 | x ^ 3 – 0,2x ^ 2 + 0,5x + 1,4 = 0 |
Таблица заданий № 9
| № вар | Уравнение | № вар | Уравнение |
| 1). | 2x ^ 3 – 3x ^ 2 – 12x – 5 = 0 | 2x ^ 3 – 3x ^ 2 – 12x + 1 = 0 | |
| 2). | x ^ 3 – 3x ^ 2 – 24x – 3 = 0 | x ^ 3 – 3x ^ 2 – 24x – 5 = 0 | |
| 3). | x ^ 3 – 3x ^ 2 + 3 = 0 | x ^ 3 – 4x ^ 2 + 2 = 0 | |
| 4). | x ^ 3 – 12x + 6 = 0 | x ^ 3 – 12x – 5 = 0 | |
| 5). | x ^ 3 + 3x ^ 2 – 24x – 10 = 0 | x ^ 3 + 3x ^ 2 – 24x + 1 = 0 | |
| 6). | 2x ^ 3 – 3x ^ 2 – 12x + 10 = 0 | 2x 6 3 – 3x^ 2 – 12x + 12 = 0 | |
| 7). | 2x ^ 3 + 9x ^ 2 – 21 = 0 | 2x ^ 3 + 9x ^ 2 – 6 = 0 | |
| 8). | x ^ 3 – 3x ^ 2 + 2,5 = 0 | x ^ 3 – 3x ^ 2 + 1,5 = 0 | |
| 9). | x ^ 3 + 3x ^ 2 – 2 = 0 | x ^ 3 – 3x ^ 2 – 24x + 10 = 0 | |
| 10). | x ^ 3 + 3x ^ 2 – 3,5 = 0 | x ^ 3 + 3x ^ 2 – 24x – 3 = 0 | |
| 11). | x ^ 3 + 3x ^ 2 – 24x + 10 = 0 | x ^ 3 – 12x – 10 = 0 | |
| 12). | x ^ 3 – 3x ^ 2 – 24x – 8 = 0 | 2x ^ 3 + 9x ^ 2 – 4 = 0 | |
| 13). | 2x ^ 3 + 9x ^ 2 – 10 = 0 | 2x ^ 3 – 3x ^ 2 – 12x + 8 = 0 | |
| 14). | x^ 3 – 12x + 10 = 0 | X ^ 3 + 3x ^ 2 – 1 = 0 | |
| 15). | x ^ 3 +3x ^ 2 – 3 = 0 | x ^ 3 – 3x ^ 2 + 3,5 = 0 |
|
|
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
«Методы численного решения дифференциальных уравнений.
Уравнения 1-го порядка»
Цель работы
Ознакомление с принципом модульного программирования на примере задачи решения дифференциальных уравнений и использование оболочки QBasic для построения подпрограмм и головного модуля.
Порядок выполнения работы
1. Получить у преподавателя вариант задания, включающий в себя
· дифференциальное уравнение (F(x))
· интервал (а,b)
· шаг (h)
· краевое значение функции (у 0 )
2. Написать подпрограмму для каждого метода (Эйлера, Эйлера-Коши,
Рунге-Кутта)
3. Написать подпрограмму процедуры-функции
4. Написать головной модуль
5. Отладить программу и получить результаты
6. Построить график решений дифференциального уравнения для всех 3-х методов в Excel.
Содержание отчета
1. Содержательная постановка задачи
2. Исходные данные
3. Краткое описание методов
4. Блок схема подпрограмм и блок схема головного (или управляющего) модуля
5. Листинг подпрограмм и управляющего модуля
6. Распечатка полученных результатов
7. Распечатка результатов в Excel.
Теоретические сведения
|
|
|
