 |
Теорему доказал Жозеф Лиувилль в 1838 г. Теорема используется для получения функции распределения состояний в фазовом пространстве.
|
|
|
|
Доказательство теоремы:
Рассмотрим бесконечно малый объем фазового пространства в форме цилиндра с осью вдоль 
. Основания 
перпендикулярны к оси, длина образующей 
.
Микросостояния с плотностью 
входят в объем и выходят из него.
За 1с входит число состояний, заполняющих цилиндр сечением 
и длиной образующей, равной скорости 
:
.
От точки к точке меняется плотность и скорость, тогда число выходящих состояний
,
где использовано
.
Если с течением времени плотность w изменяется, тогда в объеме рождаются или исчезают состояния. За 1с в объеме 
появляется число состояний
.
Каждое состояние описывает реальную систему, поэтому число состояний сохраняется и выполняется баланс
«число появившихся» = «число вошедших» – «число вышедших»:
.
Сокращаем подобные и получаем
.
Результат обобщаем на случай изменения 
координат
.
Раскрываем круглые скобки
.
Последняя скобка равна нулю согласно уравнениям Гамильтона (2.1)
, 
.
Учитывая
,
получаем
.
Плотность микросостояний фазового ансамбля не изменяется при его движении.
Следствия теоремы
А. Согласно теореме число микросостояний ансамбля и плотность микросостояний сохраняются, тогда фазовый объем элемента ансамбля не изменяется с течением времени
,
изменяется лишь форма объема. Учитываем
,
где J – якобиан преобразования между начальными и текущими координатами. Тогда
= 1.
Модуль якобиана, связывающего начальные и текущие фазовые координаты, равен единице.
Б. Проекция фазового объема на любую координатную плоскость независима от других. Фазовый объем не изменяется, тогда площадь каждой проекции постоянна. Для одной частицы в проекции на плоскость 
|
|
|
. (2.5)
В. Для стационарной системы функция распределения не изменяется с течением времени и может зависеть только от интегралов движения. Если система как целое неподвижна и не вращается, то функция распределения зависит от полной энергии, т. е. от гамильтониана:
. (2.6)
Г. Для равновесной консервативной системы
.
Система с равной вероятностью обнаруживается в любом из доступных микросостояний.
Д. Теорема не выполняется для диссипативных систем, т. е. при наличии трения, неупругих соударений, когда уравнения Гамильтона (2.1) неприменимы.
ПРИМЕР
Одномерный гармонический осциллятор (двухатомная молекула с упругой связью, матический маятник, шарик на пружине, и т. д.) колеблется с частотой ω и имеет энергию E. Найти фазовую траекторию. Проверить выполнение теоремы Лиувилля.
1. Если энергия системы фиксирована, то микросостояния в фазовом пространстве движутся по гиперповерхности. Для одномерной системы из одной частицы координаты фазового пространства (x, p). Гамильтониан осциллятора приравниваем полной энергии
.
2. Получаем уравнение фазовой траектории, по которой двигаются микросостояния:
.
Микросостояния отличаются начальной фазой. Сравниваем с уравнением эллипса на плоскости (y, z)
,
находим полуоси вдоль p и x
, 
.
3. Число микросостояний
. (2.3б)
При 
, 
интеграл равен площади эллипса
,
тогда
, (П.2.4)
где 
. Следовательно, энергия осциллятора квантуется
, 
, (П.2.4а)
спектр эквидистантный. Горизонтальная линия на рис. соответствует состоянию с определенной энергией. 
– интервал эквидистантного спектра осциллятора.
4. Для получения якобиана
необходимо найти 
и 
, где 
– начальные координата и импульс, т. е. при 
.
|
|
|
Используем уравнения Гамильтона
, 
. (2.1)
Подставляем гамильтониан осциллятора
,
получаем
– связь скорости с импульсом,
– 2-й закон Ньютона 
,
где 
– коэффициент жесткости упругой силы F;
.
Дифференцируем первое уравнение
и подставляем второе
.
Общее решение
,
.
Начальные значения
,
дают
, 
,
тогда координаты микросостояния
,
.
С течением времени микросостояние движется по эллипсу по часовой стрелке.
5. Вычисляем якобиан
.
Теорема Лиувилля выполняется.
|
|
|
