Теорему доказал Жозеф Лиувилль в 1838 г. Теорема используется для получения функции распределения состояний в фазовом пространстве.
Доказательство теоремы:
Рассмотрим бесконечно малый объем фазового пространства в форме цилиндра с осью вдоль
Микросостояния с плотностью
За 1с входит число состояний, заполняющих цилиндр сечением
От точки к точке меняется плотность и скорость, тогда число выходящих состояний
где использовано
Если с течением времени плотность w изменяется, тогда в объеме рождаются или исчезают состояния. За 1с в объеме
Каждое состояние описывает реальную систему, поэтому число состояний сохраняется и выполняется баланс
«число появившихся» = «число вошедших» – «число вышедших»:
Сокращаем подобные и получаем
Результат обобщаем на случай изменения
Раскрываем круглые скобки
Последняя скобка равна нулю согласно уравнениям Гамильтона (2.1)
Учитывая
получаем
Плотность микросостояний фазового ансамбля не изменяется при его движении. Следствия теоремы
А. Согласно теореме число микросостояний ансамбля и плотность микросостояний сохраняются, тогда фазовый объем элемента ансамбля не изменяется с течением времени
изменяется лишь форма объема. Учитываем
где J – якобиан преобразования между начальными и текущими координатами. Тогда
Модуль якобиана, связывающего начальные и текущие фазовые координаты, равен единице.
Б. Проекция фазового объема на любую координатную плоскость независима от других. Фазовый объем не изменяется, тогда площадь каждой проекции постоянна. Для одной частицы в проекции на плоскость
В. Для стационарной системы функция распределения не изменяется с течением времени и может зависеть только от интегралов движения. Если система как целое неподвижна и не вращается, то функция распределения зависит от полной энергии, т. е. от гамильтониана:
Г. Для равновесной консервативной системы
Система с равной вероятностью обнаруживается в любом из доступных микросостояний.
Д. Теорема не выполняется для диссипативных систем, т. е. при наличии трения, неупругих соударений, когда уравнения Гамильтона (2.1) неприменимы.
ПРИМЕР
Одномерный гармонический осциллятор (двухатомная молекула с упругой связью, матический маятник, шарик на пружине, и т. д.) колеблется с частотой ω и имеет энергию E. Найти фазовую траекторию. Проверить выполнение теоремы Лиувилля.
1. Если энергия системы фиксирована, то микросостояния в фазовом пространстве движутся по гиперповерхности. Для одномерной системы из одной частицы координаты фазового пространства (x, p). Гамильтониан осциллятора приравниваем полной энергии
2. Получаем уравнение фазовой траектории, по которой двигаются микросостояния:
Микросостояния отличаются начальной фазой. Сравниваем с уравнением эллипса на плоскости (y, z)
находим полуоси вдоль p и x
3. Число микросостояний
При
тогда
где
спектр эквидистантный. Горизонтальная линия на рис. соответствует состоянию с определенной энергией.
4. Для получения якобиана
необходимо найти
Используем уравнения Гамильтона
Подставляем гамильтониан осциллятора
получаем
где
Дифференцируем первое уравнение
и подставляем второе
Общее решение
Начальные значения
дают
тогда координаты микросостояния
С течением времени микросостояние движется по эллипсу по часовой стрелке.
5. Вычисляем якобиан
Теорема Лиувилля выполняется.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|