Вариация числа микросостояний по объему
Интегрируем
и выражаем число микросостояний
Учитываем
тогда
В результате
Варьируем по объему при постоянной энергии. От объема зависит гамильтониан, тогда
Используя фильтрующее свойство дельта-функции, и учитывая знаки величин в аргументе дельта-функции, заменяем
получаем
При вычислении внутреннего интеграла учтено
на нижнем пределе
тогда
По определению среднего получаем
Внутренняя энергия U
Полная энергия описывается гамильтонианом системы, и включат в себя кинетическую и потенциальную энергию всех частиц системы. Эта энергия флуктуирует на микроскопическом уровне. При усреднении по фазовому ансамблю получаем макрохарактеристику – внутреннюю энергию.
Внутренняя энергия является полной энергией системы, усредненной по фазовому ансамблю:
Давление Р
Давление равно средней силе, действующей со стороны газа на единицу площади стенки сосуда. Первое начало термодинамики связывает количества тепла
Для изолированной системы
Используем
давление выражается через статистические характеристики микросостояний
Энтропия S
Для равновесного обратимого изотермического процесса изменение энтропии пропорционально количеству полученного тепла
Вычисляем
где учтено (2.12) и
Используем первое начало термодинамики для равновесного процесса
получаем
Сравниваем бесконечно малые сомножители между собой
и конечные сомножители между собой
где k – постоянная. В результате
При рассмотрении конкретных систем и сравнении результатов с формулами термодинамики будет показано, что k – постоянная Больцмана, тогда kT – тепловая энергия.
Из (2.13) – энтропия пропорциональна логарифму числа микросостояний.
Из (2.14) – число микросостояний равно произведению энергетической плотности состояний на тепловую энергию. Следовательно, микросостояния образуются за счет тепловой энергии.
Статистические свойства энтропии
Фазовый объем системы, состоящей из независимых подсистем 1 и 2, по определению равен произведению объемов, которые они занимают:
тогда из (2.13)
Энтропия аддитивная величина – энтропия системы равна сумме энтропий независимых подсистем.
Из
находим
Используем
получаем
Следовательно:
1. Число микросостояний и фазовый объем системы увеличиваются экспоненциально с ростом энтропии согласно
Чем больше микросостояний, тем меньше информации о системе. Увеличение энтропии означает уменьшение информации о системе и увеличение ее хаотичности. Для контроля и управления необходимо снижать энтропию системы.
2. Чем ниже температура, тем быстрее возрастает энтропия с ростом энергии системы согласно (2.14а). Для лучшей контролируемости системы нужно снижать ее температуру и использовать переходы с малой энергией.
ПРИМЕР 1
Атом массой m с энергией e находится в объеме V, где все точки и направления равноправны. Найти энергетическую плотность состояний. Получить температуру и давление, создаваемые фазовым ансамблем. Рассмотреть случай, когда в объеме находятся N атомов идеального газа.
Энергия и импульс атома связаны соотношением
Фазовый ансамбль находится в импульсном пространстве на сфере радиусом
Микросостояния фазового ансамбля отличаются направлениями вектора импульса. Число микросостояний, или фазовый объем
при
Учтена независимость импульса от координат при отсутствии внешнего поля. Из
получаем
Плотность состояний классического газа пропорциональна корню квадратному из энергии.
Из
находим
Температура пропорциональна энергии частицы.
При
Из
получаем давление, создаваемой фазовым ансамблем, соответствующим одной частице:
Получили уравнение идеального газа
Азот N2: при
имеет
На интервале энергии
Для N частиц с полной энергией E
Для объема импульсного пространства в виде шара размерностью
получаем
– температура пропорциональна средней э нергии частицы.
– уравнение идеального газа
ПРИМЕР 2
Система из N одномерных гармонических осцилляторов с полной энергией Е. Найти энергетическую плотность состояний и среднюю энергию осциллятора. Полная энергия системы
тогда
– уравнение эллипсоида в 2 N- мерном пространстве,
N полуосей –
N полуосей –
Фазовый объем системы пропорционален объему эллипсоида
Число микросостояний
где
Из
получаем энергетическую плотность состояний
Из
находим
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|