Вариация числа микросостояний по объему

 

Интегрируем

, (2.9)

 

и выражаем число микросостояний внутри гиперповерхности через энергетическую плотность состояний

 

.

Учитываем

, (2.10)

 

, (2.8)

тогда

.

В результате

.

 

Варьируем по объему при постоянной энергии. От объема зависит гамильтониан, тогда

,

 

.

 

Используя фильтрующее свойство дельта-функции, и учитывая знаки величин в аргументе дельта-функции, заменяем

 

,

получаем

.

 

При вычислении внутреннего интеграла учтено

 

,

 

на нижнем пределе , поскольку H ¹ 0. Используем (2.10а) в виде

,

тогда

.

 

По определению среднего

получаем

. (2.11)

Внутренняя энергия U

 

Полная энергия описывается гамильтонианом системы, и включат в себя кинетическую и потенциальную энергию всех частиц системы. Эта энергия флуктуирует на микроскопическом уровне. При усреднении по фазовому ансамблю получаем макрохарактеристику – внутреннюю энергию.

 

Внутренняя энергия является полной энергией системы, усредненной по фазовому ансамблю:

.

Давление Р

 

Давление равно средней силе, действующей со стороны газа на единицу площади стенки сосуда.

Первое начало термодинамики связывает количества тепла , переданное газу, с изменением его внутренней энергии и совершенной им работой

,

 

.

Для изолированной системы

,

 

,

 

.

Используем

, (2.11)

 

давление выражается через статистические характеристики микросостояний

. (2.12)

 

Энтропия S

 

Для равновесного обратимого изотермического процесса изменение энтропии пропорционально количеству полученного тепла

 

.

Вычисляем

,

 

где учтено (2.12) и

. (2.9а)

 

Используем первое начало термодинамики для равновесного процесса

 

,

получаем

.

 

Сравниваем бесконечно малые сомножители между собой

 

,

 

и конечные сомножители между собой

 

,

 

где k – постоянная. В результате

 

, (2.13)

 

, (2.13а)

 

. (2.14)

 

При рассмотрении конкретных систем и сравнении результатов с формулами термодинамики будет показано, что k – постоянная Больцмана, тогда kT – тепловая энергия.

 

Из (2.13) – энтропия пропорциональна логарифму числа микросостояний.

 

Из (2.14) – число микросостояний равно произведению энергетической плотности состояний на тепловую энергию. Следовательно, микросостояния образуются за счет тепловой энергии.

 

Статистические свойства энтропии

 

Фазовый объем системы, состоящей из независимых подсистем 1 и 2, по определению равен произведению объемов, которые они занимают:

 

,

тогда из (2.13)

. (2.13б)

 

Энтропия аддитивная величина – энтропия системы равна сумме энтропий независимых подсистем.

 

Из

, (2.9а)

находим

.

Используем

, (2.13)

 

, (2.14)

получаем

. (2.14а)

Следовательно:

 

1. Число микросостояний и фазовый объем системы увеличиваются экспоненциально с ростом энтропии согласно

 

. (2.13а)

 

Чем больше микросостояний, тем меньше информации о системе. Увеличение энтропии означает уменьшение информации о системе и увеличение ее хаотичности. Для контроля и управления необходимо снижать энтропию системы.

 

2. Чем ниже температура, тем быстрее возрастает энтропия с ростом энергии системы согласно (2.14а). Для лучшей контролируемости системы нужно снижать ее температуру и использовать переходы с малой энергией.

 

ПРИМЕР 1

 

Атом массой m с энергией e находится в объеме V, где все точки и направления равноправны. Найти энергетическую плотность состояний. Получить температуру и давление, создаваемые фазовым ансамблем. Рассмотреть случай, когда в объеме находятся N атомов идеального газа.

Энергия и импульс атома связаны соотношением

 

.

 

Фазовый ансамбль находится в импульсном пространстве на сфере радиусом

.

 

Микросостояния фазового ансамбля отличаются направлениями вектора импульса. Число микросостояний, или фазовый объем

 

при ,

 

. (2.2а)

 

Учтена независимость импульса от координат при отсутствии внешнего поля. Из

(2.9а)

получаем

. (П.2.5)

 

Плотность состояний классического газа пропорциональна корню квадратному из энергии.

 

 

Из

(2.14)

находим

. (П.2.6)

 

Температура пропорциональна энергии частицы.

 

При

,

.

Из

, (2.12)

 

, (2.2а)

 

, (П.2.5)

 

, (П.2.6)

 

получаем давление, создаваемой фазовым ансамблем, соответствующим одной частице:

.

 

Получили уравнение идеального газа для одной частицы.

 

Азот N₂:

при

, ,

имеет

, .

 

На интервале энергии находятся уровней, следовательно, классический газ имеет квазинепрерывный спектр.

 

Для N частиц с полной энергией E

 

.

 

Для объема импульсного пространства в виде шара размерностью используем

, (П.2.1)

получаем

,

 

,

 

 

– температура пропорциональна средней э нергии частицы.

 

 

– уравнение идеального газа .

 

ПРИМЕР 2

 

Система из N одномерных гармонических осцилляторов с полной энергией Е. Найти энергетическую плотность состояний и среднюю энергию осциллятора.

Полная энергия системы

,

тогда

 

– уравнение эллипсоида в 2 N- мерном пространстве,

 

N полуосей – ,

 

N полуосей – ,

.

 

Фазовый объем системы пропорционален объему эллипсоида

 

. (П.2.1а)

 

Число микросостояний

,

 

где ; – интервал эквидистантного спектра осциллятора.

 

Из

(2.9а)

 

получаем энергетическую плотность состояний

 

.

Из

(2.14)

находим

.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: