Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Кинетической и потенциальной энергии частицы





при температуре Т

 

Средняя энергия выражается через статистический интеграл частицы

 

. (2.19)

 

Интегрируем по , используя метод по частям:

 

, ,

 

, ,

тогда

.

 

Свободное слагаемое равно нулю за счет экспоненты. В результате

 

,

 

где использовано каноническое распределение

 

(2.16)

и определение среднего

.

В результате

,

и аналогично

.

 

Подставляем гамильтониан

,

получаем

,

 

.

 

Результаты не зависят от i и j, т. е. теорема о равном распределении тепловой энергии по степеням свободы выполняется. Учитываем

 

,

 

,

 

тогда средние значения потенциальной, кинетической и полной энергий частицы

,

 

,

 

. (2.39)

 

Примеры

 

1. Нерелятивистская свободная частица

 

, .

Сравниваем с

, (2.38)

в виде

,

находим

, ,

 

. (2.40)

 

Для классического равновесного газа на каждую поступательную степень свободы частицы приходится тепловая кинетическая энергия .

 

2. Линейный гармонический осциллятор

 

.

Сравниваем с

, (2.38),

получаем

, ,

 

,

,

 

 

– на гармоническое колебательное движение приходится тепловая энергия kT.

 

НЕУСТРАНИМАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРИБОРА

 

Макрохарактеристики равновесной системы постоянны только в среднем. Колебания – флуктуации – вызваны хаотическими тепловыми движениями молекул.

 

Измерительное устройство испытывает тепловые колебания. Невозможно измерить физическую величину с точностью, меньшей амплитуды колебаний указателя прибора.

 

Оценим неустранимую погрешность прибора на примере весов, используя теорему о распределении энергии по степеням свободы.

Весы на основе упругой силы

 

 

Весы – одномерная система. Потенциальная энергия

 

,

 

x – отклонение указателя от положения равновесия ;

 

– коэффициент жесткости.

 

Упругая возвращающая сила

.

 

Равновесие упругой и гравитационной сил



 

.

 

Добавление массы изменяет показание весов на

 

,

тогда

,

где чувствительность

 

.

 

Чем меньше коэффициент жесткости, тем выше чувствительность весов.

Средняя потенциальная энергия, связанная с одномерным тепловым хаотическим движением весов, согласно (2.39)

 

, , ,

 

.

Флуктуация показаний весов

 

определяет наименьшую измеряемую массу

 

 

– неустранимая погрешность измерения.

 

Для уменьшения погрешности необходимо уменьшать температуру и увеличивать чувствительность весов.

 

Последнее требует уменьшениякоэффициента жесткости, который определяет частоту колебаний весов

,

 

нагруженных массой m. Используем , тогда относительная погрешность измерения

.

 

При w = 10 Гц, Т = 290 К, m = 10–3 г, получаем dm / m » 10–5.

 

Предельная чувствительность усилителя сигналов

Для колебательного контура

 

 

 

 

LCR – колебательный контур; У – усилитель.

 

Тепловое хаотическое движение электронов в резисторе R создает кратковременный ток, конденсатор заряжается, в контуре возникают колебания. Беспорядочные усиленные сигналы поступают на осциллограф.

 

Найдем флуктуацию напряжения на входе усилителя. Дисперсия напряжения связана с дисперсией заряда на конденсаторе

 

.

 

Конденсатор – одномерная система с энергией , что соответствует

 

, , ,

 

тогда средняя тепловая энергия

 

, ,

 

.

 

Чем меньше электроемкость колебательного контура, тем больше флуктуация напряжения на конденсаторе.

 

Для колебательного контура ширина частотной полосы

 

 

и реактивное сопротивление на резонансной частоте

 

.

При согласованной нагрузке

,

 

где – входное сопротивление усилителя, тогда

 

,

 

,

и флуктуация напряжения

 

. (П.4.1)

 

Для приемника с полосой пропускания Dn = 10 кГц, входным сопротивлением Rу = 10 кОм, температурой Т = 290 К получаем dU = 1,6 мкВ, что ограничивает предельную чувствительность усилителя.





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015- 2021 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.