Средняя квадратичная скорость
Стр 1 из 6Следующая ⇒ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА–БОЛЬЦМАНА
Дает распределение частиц идеального газа при температуре T во внешнем поле по координатам, скоростям, импульсам и энергии.
Распределение по скоростям без внешнего поля получил Дж. Уотерстон в 1843 г. и Джеймс Максвелл в 1859 г.
Распределение по импульсам и координатам во внешнем поле установил Людвиг Больцман в 1866 г.
Распределение по скоростям, импульсам и энергии без внешнего поля называется распределением Максвелла.
Распределение по координатам во внешнем поле – распределением Больцмана.
Распределение по координатам и импульсам
Для N тождественных частиц идеального газа во внешнем поле при фиксированных температуре и объеме используем каноническое распределение
Для частицы трехмерного газа с поступательным движением
Кинетическая энергия, зависящая от импульса, и потенциальная энергии, зависящая от координат, являются слагаемыми гамильтониана. В каноническом распределении гамильтониан находится в показателе экспоненты. Поэтому распределения по координатам и импульсам являются сомножителями в результирующем распределении
Распределение Максвелла Частицы в газе имеют различные скорости, вызванные тепловым движением – от самых малых до самых больших.
Для трехмерного идеального газа без внешнего поля с учетом лишь поступательных движений получим распределения по импульсам, скоростям, энергиям в декартовых и сферических координатах при температуре T.
Распределение по импульсам
В декартовых координатах
каноническое распределение
дает
Интегрируем по координатам, учитываем
– вероятность обнаружения частицы с импульсом в интервале
Распределение по скоростям
Заменяем
– вероятность обнаружения частицы со скоростями в интервале
Интегрируем (2.41) по
получаем
– функция распределения по проекции скорости – относительное число частиц с проекцией скорости в единичном интервале около
n – концентрация частиц – число частиц в единице объема со всеми скоростями;
Нормировка
Площадь под кривой – единица;
с ростом Т максимум понижается, график расширяется, увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью;
при Средняя квадратичная проекция скорости
Доказательство:
Подставляем
находим
где использовано
Распределение в сферических координатах
В (2.41)
заменяем
получаем
где
Распределение по модулю скорости
Интегрируем (2.43) по углам, учитываем
– вероятность обнаружения частицы с модулем скорости от v до
– функция распределения по модулю скорости – относительное число частиц с модулем скорости в единичном интервале около
dn (v) – концентрация частиц с модулем скорости от v до
Условие нормировки
площадь под кривой – единица; с ростом Т максимум понижается, сдвигается вправо и увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью. Наиболее вероятная скорость
Из (2.44а)
находим
Средняя скорость
Подставляем
находим
Доказательство:
Средняя квадратичная скорость
Подставляем (2.44а)
Распределение по энергии
Заменяем
в распределении по модулю скорости (2.44)
получаем
– распределение Максвелла по энергии – относительное число частиц с энергией в единичном интервале около
Нормировка
Площадь под кривой – единица; с ростом Т максимум понижается, сдвигается вправо и увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей энергией.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|