Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Средняя квадратичная скорость




РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА–БОЛЬЦМАНА

 

Дает распределение частиц идеального газа при температуре T во внешнем поле по координатам, скоростям, импульсам и энергии.

 

Распределение по скоростям без внешнего поля получил Дж. Уотерстон в 1843 г. и Джеймс Максвелл в 1859 г.

 

Распределение по импульсам и координатам во внешнем поле установил Людвиг Больцман в 1866 г.

 

Распределение по скоростям, импульсам и энергии без внешнего поля называется распределением Максвелла.

 

Распределение по координатам во внешнем поле – распределением Больцмана.

 

Распределение по координатам и импульсам

 

Для N тождественных частиц идеального газа во внешнем поле при фиксированных температуре и объеме используем каноническое распределение

, ,

 

, (2.17)

 

.

 

Для частицы трехмерного газа с поступательным движением

 

,

, .

 

Кинетическая энергия, зависящая от импульса, и потенциальная энергии, зависящая от координат, являются слагаемыми гамильтониана. В каноническом распределении гамильтониан находится в показателе экспоненты. Поэтому распределения по координатам и импульсам являются сомножителями в результирующем распределении

 

,

 

,

 

распределение Максвелла, т. е. вероятность обнаружения у частицы импульса в единичном интервале около значения p.

- распределение Больцмана, т. е. вероятность обнаружения у частицы координаты в единичном интервале около значения x.

Распределение Максвелла

Частицы в газе имеют различные скорости, вызванные тепловым движением – от самых малых до самых больших.

 

Для трехмерного идеального газа без внешнего поля с учетом лишь поступательных движений получим распределения по импульсам, скоростям, энергиям в декартовых и сферических координатах при температуре T.

 

Распределение по импульсам

 

В декартовых координатах

,

 

,

 

,

каноническое распределение

 

дает

.

 

Интегрируем по координатам, учитываем , тогда

 

 

 

вероятность обнаружения частицы с импульсом в интервале , где .

 

Распределение по скоростям

 

Заменяем , :

 

(2.41)

 

вероятность обнаружения частицы со скоростями в интервале .

 

Интегрируем (2.41) по и в пределах (–¥, ¥), используем интеграл Пуассона

, ,

получаем

, (2.42)

 

(2.42а)

 

функция распределения по проекции скоростиотносительное число частиц с проекцией скорости в единичном интервале около ;

 

nконцентрация частиц – число частиц в единице объема со всеми скоростями;

 

– концентрация частиц со скоростями в интервале около ;

 

– концентрация частиц со скоростями в единичном интервале около .

Нормировка

,

,

.

Площадь под кривой – единица;

 

с ростом Т максимум понижается, график расширяется, увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью;

 

при получаем – все частицы останавливаются.

Средняя квадратичная проекция скорости

 

. (2.42б)

Доказательство:

 

Подставляем

, (2.42а)

находим

,

 

где использовано

,

 

, , .

Распределение в сферических координатах

 

В (2.41)

заменяем

,

 

,

 

получаем

, (2.43)

 

где – концентрация частиц со скоростями от (v, q, j) до (v+dv, q+dq, j+dj).

 

Распределение по модулю скорости

 

Интегрируем (2.43) по углам, учитываем :

 

(2.44)

 

вероятность обнаружения частицы с модулем скорости от v до ,

(2.44а)

 

функция распределения по модулю скоростиотносительное число частиц с модулем скорости в единичном интервале около ;

 

dn(v) – концентрация частиц с модулем скорости от v до ;

 

– концентрация частиц с модулем скорости в единичном интервале около v.

 

Условие нормировки

,

площадь под кривой – единица;

с ростом Т максимум понижается, сдвигается вправо и увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью.

Наиболее вероятная скорость

,

 

.

Из (2.44а)

находим

(2.45)

 

Средняя скорость

 

.

Подставляем

, (2.44а)

находим

. (2.46)

Доказательство:

 

,

 

,

, , .

 

Средняя квадратичная скорость

 

.

Подставляем (2.44а)

. (2.47)

 

Распределение по энергии

 

Заменяем

, , ,

 

в распределении по модулю скорости (2.44)

 

получаем

(2.48)

 

, (2.48а)

 

распределение Максвелла по энергии – относительное число частиц с энергией в единичном интервале около ;

 

– концентрация частиц с энергией от ε до e + de;

 

 

– концентрация частиц с энергией в единичном интервале около .

Нормировка

.

 

 

Площадь под кривой – единица;

с ростом Т максимум понижается, сдвигается вправо и увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей энергией.





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015- 2021 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.