Волновая функция и ее статистический смысл. Стационарные состояния

Несколько месяцев спустя после опубликования работ Гейзенберга появилась работа другого ученого — авст­рийского физика Эрвина Шрёдингера, которая также была посвящена ме­ханике микромира.

Теория Гейзенберга Шрёдингеру не понравилась. «Наводящим уны­ние,— писал он,— если не отталкивающим, явился для меня этот труд­ный (гейзенберговский) метод... лишенный какой бы то ни было нагляд­ности».

В то время как Гейзенберг в своей теории опирался на действия с матрицами, Шрёдингер избрал другой путь. Отталкиваясь от идеи де Бройля, он положил в основу квантовой механики представление о вол­новых свойствах микрочастиц и в результате пришел к уравнению, которое теперь носит его имя.

Ознакомившись с работой Шрёдингера, Гейзенберг в письме своему другу написал: «Чем больше я обдумываю физическую сторону шрёдингеровской теории, тем отвратительнее представляется она мне».

Через некоторое время, однако, Шрёдингер доказал, что обе теории — с одной стороны, развиваемая им, а с другой — теория Гейзенберга, с которой соглашался и Бор,— по сути дела эквивалентны и дополняют друг друга.

В то же время Шрёдингер упорно пытался избавиться от «квантовых скачков», присутствующих в теории атома. Это место он считал одним из самых уязвимых в квантовой теории. Ведь как бы ни был быстр переход атома из одного стационарного состояния в другое, в любом случае он должен происходить в течение конечного промежутка времени (иначе это проти­воречило бы теории относительности). Но тогда непонятно, чему должна равняться энергия электрона в течение этого времени — ведь он уже не находится на уровне Е_{ и в то же время еще не достиг уровня Е₂. Кроме того, первый постулат Бора вообще запрещает ему находиться где бы то ни было, кроме как на соответствующих уровнях. Поэтому любую теорию, включающую представление о подобных переходах («квантовых скачках»), Шрёдингер считал противоречащей принципу непрерывности движения и потому неверной. Ему было просто страшно представить, что «электрон может прыгать, как блоха».

В результате серии работ Шрёдингера и Гейзенберга, к которому при­соединились Макс Борн и Паскуаль Иордан, а затем блестящих исследований английского физика Поля Дирака возникла новая, совершенно не похожая на механику Ньютона, физическая теория — квантовая механика.

Согласно квантовой механике, любая свободно движущаяся частица характеризуется длиной волны, интенсивность которой в любой точке пространства про­порциональна вероятности ее обнаружения в этой точке.

Оказалось, что никаких орбит (и вообще траекторий) у электронов внутри атомов нет. А те боровские радиусы, которые в старой теории атома оп­ределяли эти орбиты, согласно квантовой механике, дают просто расстояние до тех мест, где вероятность нахождения электронов имеет максимальное значение.

Законы квантовой механики получили вероятностную трактовку: они определяют вероятность появления того или иного события.

Так, в опыте с дифракцией электронов попадание электрона в опре­деленную точку фотопластинки может быть предсказано лишь с опреде­ленной степенью вероятности. Дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места фотопластинки, где ин­тенсивность волн де Бройля наибольшая.

Вероятностная трактовка явлений микромира — характерная осо­бенность квантовой механики.

Так как с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, то состояние частицы в квантовой механике описывают волновой функцией, которая зависит от координат и времени ψ(х,у,z,t). Конкретный вид ψ-функции (пси-функции) определяется состоянием частицы, характером действующих на нее сил. Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, т. е. не завися­щим от времени, то ψ-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой — от координат:

ψ (х,у, z,t) = f(t) ψ (х,у,z) (26.5)
В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния.
ψ -Функция является вероятностной характеристикой состояния частицы.
Чтобы пояснить это, мысленно выделим достаточно малый объем
dV=dхdуdz, в пределах которого значения ψ-функции будем считать
одинаковыми. Тогда вероятность нахождения dW частицы в данном объёме пропорциональна ему и зависит от квадрата модуля ψ-функции
(квадрата модуля амплитуды волн де Бройля):

dW =| ψ |² dV (26.6)

Отсюда следует физический смысл волновой функции: квадрат модуля волновой функции имеет смысл плотности вероят­ности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х,у, z.

(26.7)

Интегрируя выражение (26.7) по объему, определяем вероятность нахождения частицы в этом объеме в условиях стационарного поля:

(26.8)

Если известно, что частица находится в пределах объема V, то инте­грал выражения (7.26), взятый по объему V, должен быть равен единице:

(26.9)
—условие нормировки ψ -функции.

Свойства волновой функции. Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой со­стояния микрочастиц, она должна удовлетворять следующим требованиям: быть однозначной, непрерывной и иметь непрерывные производные, конечной во всем про­странстве.

Для объективно сущест­вующей частицы должно выполняться условие нормировки (), т. е. вероят­ность нахождения частицы где-либо в пространстве равна единице (досто­верное событие). В тех местах, где частица не может оказаться, ψ (х, у, z) = 0. Перечисленные выше условия названы стандартными.