Квантование энергии и импульса частицы

Наиболее простым примером на нахождение собственных значений энергии и соответствующих им собственных значений функции для час­тицы является решение задачи о движении частицы в одномерной «по­тенциальной яме» с бесконечно высокими стенками, расстояние между которыми ℓ. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси Х в пределах ширины ямы 0 < х < ℓ. Так как «стенки» ямы бесконечно высокие, то частица не проникает за ее пределы, поэтому ψ-функция за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что ψ-функция должна быть равна нулю и на границах ямы:

ψ(0) = ψ(ℓ) = 0. (26.13)

Внутри ямы ψ-функция отлична от нуля.

Так как на частицу в интервале 0 < х < ℓ силовые поля не действуют, то потенциальная энергия U в этом случае имеет вид, приведенный на рис. Она равна нулю (0 < х < ℓ) и стремится к бесконечности (х < 0 и х > ℓ).

(26.14)

 

 

Уравнение (26.14) для рассматриваемой области, где ψ -функция от­лична от нуля, принимает вид

(26.15)

Если ввести обозначение

(26.16)

то уравнение (26.15) примет вид

(26.17)

Решением уравнения (26.17) является функция:

ψ (х)= а sin(ωx +φ) (26.18)

Выбор постоянных ω и φ должен удовлетворять (26.15). Из условия ψ(0) = 0

имеем

ψ(0)= а sinφ (26.19)

откуда следует, что φ =0.

Из условия ψ(ℓ) = 0 имеем ψ (ℓ)= а sin ωℓ = 0

Это соотношение справедливо, если ωℓ = ±πn, (n = 1, 2, 3, ….), то (26.19)

Отсюда волновая функция для частицы в потенциальной яме с уче­том (26.19) и (26.20) имеет вид

(26.20)

Для определения а воспользуемся условием нормировки

(26.21)

С учетом того, что среднее значение равно 1/2, и условия (7.31), выражение (26.21) принимает вид

Откуда (26.22)

 

Подставим значение (26.22) в (26.20), имеем

(n = 1, 2,3,….) (26.23)

Графическое изображение ψ-функции свободной частицы в потен­циальной яме в зависимости от n дано на рис. 7.5, а. Возведя в квадрат (7.40), определим плотность вероятности |ψ|² на­хождения частицы в разных точках потенциальной ямы. Графическая зависимость |ψ|² от х при различных значениях n показана на рис. 7.5, б. Из рисунка видно, что при n = 1 вероятность обнаружения частицы у сте­нок потенциальной ямы равна нулю, а при n = 2 вероятность обнаруже­ния частицы и в середине ямы равна нулю. Согласно законам классиче­ской физики, все положения частицы в потенциальной яме являются рав­новероятными.

Совместное решение ранее полученных уравнений и позволяет определить собственные значения энергии частицы:

(n = 1, 2, 3,….) (26.24)

Решение уравнения Шредингера дало возможность определить соб­ственные значения энергий, эти значения квантованы и образуют дис­кретный спектр. Целое число n, которое определяет энергию частицы, называется главным квантовым числом.

Определим разность энергий двух соседних уровней:

(26.25)

Из уравнения (26.25) видно, что дискретность, т. е. разность энергий двух соседних уровней, тем больше, чем меньше масса частицы и разме­ры потенциальной ямы.

Дискретность энергетических уровней становится заметной, когда размеры потенциальной ямы порядка размеров атома. Частица в потенциальной яме не может иметь энергию, меньшую . Эта энергия отлична от нуля.

Чем больше n, тем соседние уровни расположены ближе друг к другу. Если n очень велико, то энергетические уровни воспринимаются как сплошной спектр энергии, т.е. дискретность сглаживается.

Такой результат является частным случаем принципа соответ­ствия Бора, согласно которому законы квантовой механики при больших значениях квантовых чисел переходят в законы класси­ческой механики.

Аналогично, формулы кинематики и динамики специальной тео­рии относительности при υ «с переходят в формулы классической механики Галилея—Ньютона. Таким образом, согласно принципу со­ответствия, всякая новая, более общая теория является развитием классической, но не отвергает ее полностью, а лишь указывает грани­цы ее применения, в определенных предельных случаях новая теория переходит в старую.

В квантовой механике поня­тие состояния микрообъекта приобретает совершенно иной смысл, чем в классической механике. Состояние микрообъекта в квантовой механике полностью определяется волновой функцией ψ(х,у,z,t), квадрат модуля которой |ψ(х,у,z,t)|² пропорционален вероятности нахождения частицы в данный момент времени в объеме dV.

В свою очередь, волновая функция ψ(х,у,z,t) удовлетворяет урав­нению Шредингера, содержащему первую производную функции ψ по времени. Это и означает, что задание функции ψ₀ (для момента времени t₀) определяет ее значение в последующие моменты. Следовательно, в квантовой механике начальное состояние ψ₀ есть причина, а состояние в последующий момент — следствие. Это и есть форма принципа причин­ности в квантовой механике, когда задание функции ψ₀ предопределяет ее значения для любых последующих моментов.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: