Квантование энергии и импульса частицы
Наиболее простым примером на нахождение собственных значений энергии и соответствующих им собственных значений функции для частицы является решение задачи о движении частицы в одномерной «потенциальной яме» с бесконечно высокими стенками, расстояние между которыми ℓ. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси Х в пределах ширины ямы 0 < х < ℓ. Так как «стенки» ямы бесконечно высокие, то частица не проникает за ее пределы, поэтому ψ-функция за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что ψ-функция должна быть равна нулю и на границах ямы: ψ(0) = ψ(ℓ) = 0. (26.13) Внутри ямы ψ-функция отлична от нуля. Так как на частицу в интервале 0 < х < ℓ силовые поля не действуют, то потенциальная энергия U в этом случае имеет вид, приведенный на рис. Она равна нулю (0 < х < ℓ) и стремится к бесконечности (х < 0 и х > ℓ).
(26.14)
Уравнение (26.14) для рассматриваемой области, где ψ -функция отлична от нуля, принимает вид
Если ввести обозначение
то уравнение (26.15) примет вид
Решением уравнения (26.17) является функция: ψ (х)= а sin(ωx +φ) (26.18) Выбор постоянных ω и φ должен удовлетворять (26.15). Из условия ψ(0) = 0 имеем ψ(0)= а sinφ (26.19) откуда следует, что φ =0. Из условия ψ(ℓ) = 0 имеем ψ (ℓ)= а sin ωℓ = 0 Это соотношение справедливо, если ωℓ = ±πn, (n = 1, 2, 3, ….), то Отсюда волновая функция для частицы в потенциальной яме с учетом (26.19) и (26.20) имеет вид
Для определения а воспользуемся условием нормировки
С учетом того, что среднее значение Откуда
Подставим значение (26.22) в (26.20), имеем
Графическое изображение ψ-функции свободной частицы в потенциальной яме в зависимости от n дано на рис. 7.5, а. Возведя в квадрат (7.40), определим плотность вероятности |ψ|2 нахождения частицы в разных точках потенциальной ямы. Графическая зависимость |ψ|2 от х при различных значениях n показана на рис. 7.5, б. Из рисунка видно, что при n = 1 вероятность обнаружения частицы у стенок потенциальной ямы равна нулю, а при n = 2 вероятность обнаружения частицы и в середине ямы равна нулю. Согласно законам классической физики, все положения частицы в потенциальной яме являются равновероятными.
Решение уравнения Шредингера дало возможность определить собственные значения энергий, эти значения квантованы и образуют дискретный спектр. Целое число n, которое определяет энергию частицы, называется главным квантовым числом. Определим разность энергий двух соседних уровней:
Из уравнения (26.25) видно, что дискретность, т. е. разность энергий двух соседних уровней, тем больше, чем меньше масса частицы и размеры потенциальной ямы. Дискретность энергетических уровней становится заметной, когда размеры потенциальной ямы порядка размеров атома. Частица в потенциальной яме не может иметь энергию, меньшую Чем больше n, тем соседние уровни расположены ближе друг к другу. Если n очень велико, то энергетические уровни воспринимаются как сплошной спектр энергии, т.е. дискретность сглаживается. Такой результат является частным случаем принципа соответствия Бора, согласно которому законы квантовой механики при больших значениях квантовых чисел переходят в законы классической механики. Аналогично, формулы кинематики и динамики специальной теории относительности при υ «с переходят в формулы классической механики Галилея—Ньютона. Таким образом, согласно принципу соответствия, всякая новая, более общая теория является развитием классической, но не отвергает ее полностью, а лишь указывает границы ее применения, в определенных предельных случаях новая теория переходит в старую.
В квантовой механике понятие состояния микрообъекта приобретает совершенно иной смысл, чем в классической механике. Состояние микрообъекта в квантовой механике полностью определяется волновой функцией ψ(х,у,z,t), квадрат модуля которой |ψ(х,у,z,t)|2 пропорционален вероятности нахождения частицы в данный момент времени в объеме dV. В свою очередь, волновая функция ψ(х,у,z,t) удовлетворяет уравнению Шредингера, содержащему первую производную функции ψ по времени. Это и означает, что задание функции ψ0 (для момента времени t0) определяет ее значение в последующие моменты. Следовательно, в квантовой механике начальное состояние ψ0 есть причина, а состояние в последующий момент — следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, когда задание функции ψ0 предопределяет ее значения для любых последующих моментов.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|