Теплопроводность плоской стенки
Теплопроводность плоской стенки При установившемся (стационарном) тепловом режиме
Развернутая форма оператора
Определим тепловой поток через изотропную плоскую стенку. Предполагая, что температура меняется только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (рис. 2а), имеем:
![]()
Рис. 2. Теплопроводность плоской однослойной (а) и многослойной (б) стенки
Интегрируя уравнение (22а), имеем
Второе интегрирование дает
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий первого рода:
Подставляя постоянные интегрирования в соотношение (24), получим уравнение распределения температуры в плоской стенке
Из выражения (26) следует, что температура в плоской стенке изменяется по линейному закону. Из закона Фурье (8), с учетом формул (23) и (25), получаем уравнение теплопроводности через однослойную плоскую стенку
Тепловой поток при теплопроводности через однослойную плоскую стенку определяется следующим образом:
Отношение Уравнения (27) и (28) могут быть представлены в виде:
Таким образом, можно утверждать, что значения удельного или полного теплового потока зависят от термического сопротивления стенки. Рассмотрим процесс передачи теплоты теплопроводностью через плоскую трехслойную стенку (рис. 2б) при условиях, что толщина слоев стенки составляет Запишем выражения плотности теплового потока через стенки и приравняем их, т. к. q = idem
Выделим из соотношения (31) разности температур на каждом из слоев стенки:
Суммируя, левые и правые части уравнений (32), (32а), (32б), получаем: слева - изменение температуры в стенке
Таким образом, для определения плотности теплового потока через плоскую трехслойную стенку получим следующее выражение:
В случае многослойной плоской стенки, состоящей из n слоев, выражение для плотности теплового потока может быть представлено в следующем виде:
где R – общее термическое сопротивление многослойной плоской стенки. Как следует из соотношения (35), плотность теплового потока прямо пропорциональна разности температур Теплопроводность цилиндрической стенки Рассмотрим процесс передачи теплоты теплопроводностью через цилиндрическую однослойную стенку (рис. 3) с внутренним диаметром d1=2r1 и наружным диаметром d2=2r2 в условиях стационарного температурного поля Дифференциальное уравнение теплопроводности через цилиндрическую стенку (14) в рассматриваемых условиях имеет следующий вид:
Рис. 3. Теплопроводность цилиндрической стенки
Температуры на наружной и внутренней поверхности цилиндрической стенки и по оси z, совпадающей с осью цилиндра, не изменяются:
При данных условиях температура изменяется только по радиусу и дифференциальное уравнение теплопроводности принимает следующий вид:
Граничные условия:
при при
Для решения уравнения (37) введем новую переменную
Интегрируя соотношение (39), получим
Потенцируя выражение (40) и переходя к первоначальным переменным, получаем
После интегрирования имеем
Постоянные интегрирования С1 и С2 можно определить из граничных условий (38), (38а):
Решая систему уравнений (43) относительно С1 и С2, найдем:
Подставляя полученные значения С1 и С2 в уравнение (42), получаем
Уравнения температурного поля цилиндрической стенки (44) представляет собой уравнение логарифмической кривой. То обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является криволинейным, можно объяснить тем, что плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность будет величиной переменой, так как при неизменном тепловом потоке величина площади поверхности теплообмена зависит от радиуса. Для определения теплового потока через цилиндрическую стенку воспользуемся законом Фурье
Подставляя в соотношение (45) значение градиента температуры (41) получим (учитывая, что
или
Тепловой поток может быть отнесен либо к единице внутренней или внешней поверхности, либо к единице длины. Тепловой поток через единицу площади внутренней поверхности находится из соотношения
Тепловой поток через единицу площади внешней поверхности
Тепловой поток через единицу длины цилиндрической стенки определяется по соотношению
называется линейным тепловым потоком и имеет размерность Вm/м. Рассуждая аналогично, как при получении расчетного соотношения теплового потока для многослойной плоской стенки, можно получить выражение для определения линейного теплового потока в случае многослойной цилиндрической стенки
где величина Из уравнения (50) может быть определена температура на границе любых двух слоев
где
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|