Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Самостоятельная работа №3.

7: Геометрическое и механическое приложения дифференциала и производной.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Теоремы Роля и Лагранжа. Применение производной к исследованию функций. Минимум и максимум функции. Нахождение наименьших и наибольших значений функции в интервале. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба. Асимптоты графика. Схема исследования и построения графика функции по характерным точкам.

Дифференциал дуги кривой и его геометрический смысл. Средняя кривизна кривой и кривизна в точке. Радиус и центр кривизны.

Приближенное решение уравнений: графическое отделение корней методом проб, методы хорд и касательных.

Задачи для контрольных работ №3.

В задачах 201-220 даны уравнения парабол и точка С (х₁;у₁), которая является центром окружности. Радиус окружности R=5. Требуется: 1) найти точки пересечения параболы с окружностью; 2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках её пересечения с окружностью; 3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках их пересечения. Сделать чертеж.

201. 202.

203. 204.

205. 206.

207. 208.

209. 210.

211. 212.

213. 214.

215. 216.

217. 218.

219. 220.

В задачах 221-240 исследовать данные функции, используя общую схему исследования функции и начертить их графики.

221. 222.

223. 224.

225. 226.

227. 228.

229. 230.

231. . 232. .

233. . 234. .

235. . 236. .

237. . 238. .

239. . 240. .

В задачах 241-260 найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на заданном отрезке.

241.

242.

243.

244.

245.

246. .

247.

248.

249.

250.

251.

252.

253.

254.

255.

256.

257.

258.

259.

260.

261. Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры сосуда (радиус R и высота H), если на его изготовление имеется S=84,82 дм² материала ()?

262. Требуется вырыть яму конической формы (воронку) с образующей а=3 м. При какой глубине объём воронки будет наибольшим?

263. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.

264. В эллипс вписать прямоугольник наибольшей площади. Найти стороны этого прямоугольника, если они параллельны осям эллипса.

265. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота H), если на его изготовление имеется S=18,84 м² материала ?

266. В прямоугольной системе координат через точку М(2;3) проведена прямая, которая вместе с осями координат образует треугольник, расположенный в первом квадранте. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?

267. Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала, если он должен вмещать 256 л воды?

268. Требуется вырыть яму цилиндрической формы с круглым основанием и вертикальной боковой поверхностью заданного объёма V=25 м³ . Каковы должны быть линейные размеры ямы (радиус R и высота H), чтобы на облицовку её дна и боковой поверхности пошло наименьшее количество материала?

269. Из круглого бревна радиуса требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием в и высотой h. Прочность балки пропорциональна bh². При каких значениях b и h прочность балки будет наибольшей?

270. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак заданного объёма V=50 м² (). Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота H), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

271. Из бревна, имеющего форму усеченного конуса (диаметр большего основания равен 2 м, меньшего-1м, а длина бревна, считая по оси, равна 18м), надо вырезать балку, поперечное сечение которой представляет собой квадрат, а ось совпадает с осью бревна. Найти размеры балки (сторону квадрата а и длину балки в), при которых объём балки будет наибольшим?

272. Требуется поставить палатку в форме правильной четырехугольной пирамиды заданной боковой поверхностью м². Каковы должны быть размеры палатки (сторона основания а и высота H), чтобы вместимость палатки была наибольшей?

273. Равнобедренный треугольник, периметр которого Р =12, вращается вокруг основания. Найти основание а, при котором полученное тело вращения имеет наибольший объём?

274. Цистерна имеет форму прямого кругового цилиндра, завершенного с одной стороны полушаром. Вместимость цистерны V =41,89 м³ (). Найти радиус цилиндра R, при котором цистерна будет иметь наименьшую поверхность.

275. Сечение оросительного канала имеет форму равнобочной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле наклона боковых сторон сечение канала будет иметь наибольшую площадь?

276. Требуется изготовить полотняный шатёр, имеющий форму прямого кругового конуса заданной вместимости V =14,14 м³ (). Каковы должны быть размеры конуса (высота H и радиус основания R), чтобы на шатёр ушло наименьшее количество полотна?

277. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Периметр сечения Р =35,7 м (). При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?

278. Из прямоугольного листа жести размером см требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?

279. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R =3, вращается вокруг основания. Найти высоту треугольника h, при котором полученное тело вращения имеет наибольший объём.

280. Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.

В задачах 281-290 для кривых в указанной точке А(х₁;у₁) найти радиус кривизны и координаты центра кривизны. Сделать чертёж.

281. 282.

283. 284.

285. 286.

287. 288.

289. 290.

В задачах 291-300 дано скалярное поле . Требуется: 1) составить уравнение линии уровня и построить её график; 2) вычислить с помощью градиента производную скалярного поля и в точке А по направлению вектора ; 3) найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке А.

Номер задачи	С	Координаты точки А.	Координаты точки В.
	-4

	-1



	-1
	-4

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒