Вычисления площадей плоских фигур

 

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этом f(x) на этом отрезке, то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:

 

 

 

Замечания:

1. Если же на , то – f(х) на этом отрезке. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

или

 

Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок надо разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

 

2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y₂=f₂(x), снизу – графиком функции y₁=f₁(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:

 

 

 

 

3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x₂=j₂(y), слева – графиком функции x₁=j₁(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:

 

 

 

 

Пример 11. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y = sin x и осью абсцисс при условии .

Решение:

Разобьём отрезок на два отрезка: и . На первом из них sin x , на втором sin x . Тогда, используя формулы, находим искомую площадь:

 

 

Несобственные интегралы

При введении понятия определённого интеграла мы предполагали, что подынтегральная функция является ограниченной, а пределы интегрирования – конечными. Такой интеграл называется собственным (слово «собственный» обычно опускается). Если хотя бы одно из этих двух условий не выполнено, то интеграл называется несобственным.

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция f(x) непрерывна при < , т.е. при Тогда по определению полагают

Если этот предел существует, то говорят, что интеграл

сходится, а если предел не существует, то интеграл называют расходящимся.

Геометрически для неотрицательной при функции f(x) несобственный интеграл по аналогии с собственным интегралом представляет собой площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), слева отрезком прямой x=a и снизу осью Ox.

 

 

Пример 13 Исследовать на сходимость интегралы:

а) т.е. данный несобственный интеграл сходится.

б) т.е. данный интеграл расходится.

в) Установим, при каких значениях интеграл сходится.

Случай был рассмотрен в примере б). Если то

.

Значит, данный интеграл сходится при >1 и расходится при

Аналогично определяются следующие несобственные интегралы

 

Интегралы от неограниченных функций

Пусть функция f(x) непрерывна при <b. Пусть эта функция стремится к бесконечности, когда (т.е. на отрезке функция f(x) не ограничена). Положим

Если этот предел существует, то говорят, что интеграл

сходится, а если предел не существует, то интеграл называют расходящимся.

Подобным же образом равенство

даёт определение интеграла от функции f(x), стремящейся к бесконечности при

Наконец, если функция f(x) стремится к бесконечности при приближении аргумента к обоим концам промежутка , то полагают

a<c<b.

Если при этом сходятся оба интеграла в правой части последнего равенства, то сходится и интеграл слева.

Пример 14

, т.е. расходится.

 

Лекция 14

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.

 

Обыкновенным дифференциальным уравнением n^-го порядка называется выражение вида:

или ,

то есть, уравнение, содержащее неизвестную функцию и её производные до n^-го порядка.

Так, например:

1) , или - это дифференциальное уравнение первого порядка;

2) - дифференциальное уравнение второго порядка.

Из определения дифференциального уравнения следует, что его порядок равен порядку старшей производной, содержащейся в нём.

Решением дифференциального уравнения называется любая функция

,

которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

 

Пример 16 Проверить (самостоятельно), будут ли функции

; ; ;

решениями дифференциального уравнения

.

Решение:

Рассмотрим уравнения первого порядка.

(1)

имеет место следующая

Теорема Коши

Если функция определена и непрерывна в области вместе со своей частной производной , то для всякой точки , принадлежащей области , в некоторой её окрестности, существует единственное решение , удовлетворяющее начальному условию при

. (2)

Условия (2) называются начальными условиями.

Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы через каждую внутреннюю точку M₀ области проходит единственная интегральная кривая.

 

Задачей Коши называют задачу о нахождении решения дифференциального уравнения

, (1)

удовлетворяющее начальным условиям

. (2)

Вышеприведённую теорему называют теоремой о существовании и единственности решения задачи Коши.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называют функцию такую, что

1) при любом она является решением дифференциального уравнения (1);

2) каковы бы ни были начальные условия (2), всегда можно найти такое , что удовлетворяет начальным условиям (2).

Частным решение называется решение, полученное из общего при конкретном значении .

 

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: