Анализ остатков уравнения множественной регрессии на автокорреляцию

Как уже отмечалось, одной из предпосылок МНК является независимость отклонений e = y – друг от друга. Если это условие нарушено, то говорят об автокорреляции остатков. Причин возникновения автокорреляции в остатках для уравнения множественной регрессии несколько. Выделим среди них следующие:

1) в регрессионную модель не введен значимый факторный признак и его изменение приводит к значимому изменению последовательных остаточных величин;

2) в регрессионную модель не включено несколько незначимых факторов, но их изменения совпадают по направлению и фазе, и их суммарное воздействие приводит к значимому изменению последовательных остатков:

3) неверно выбран вид зависимости между анализируемыми переменными;

4) автокорреляция остатков может возникнуть не в результате ошибок, допущенных при построении регрессионной модели, а вследствие особенностей внутренней структуры случайных компонент (например, при описании регрессией динамических рядов).

Анализ остатков на автокорреляцию, как и в случае парной регрессии, можно проводить на основе критерия Дарбина – Уотсона (Durbin – Watson test). Табличные значения этого критерия определяются при известных n (объём выборки), m (число независимых переменных) и α (принятый уровень значимости). Дальнейшие исследования – по аналогии с простой регрессией. Если с помощью этого критерия обнаружена существенная автокорреляция остатков, то необходимо признать наличие проблемы в определении спецификации уравнения и либо пересмотреть набор включаемых в уравнение регрессий переменных, либо форму регрессионной зависимости. В б о льшей степени такой анализ актуален при рассмотрении регрессии на временные ряды.

Как уже отмечалось, статистика Дарбина – Уотсона обладает рядом недостатков и в некоторых случаях её использование проблематично: тестируется только автокорреляция первого порядка, нельзя использовать, если среди регрессоров есть лаговые значения зависимой переменной, необходимо присутствие в регрессии константы и т. д.

Поэтому разработаны альтернативные тесты для проверки автокорреляции в остаточных членах уравнения регрессии, лишённые таких недостатков.

Рассмотрим один из них реализованный в пакете EViews. Этот тест носит имя своих авторов – тест Бройша – Годфри (Breusch – Godfrey test). Идея этого теста в следующем. Сначала обычным МНК оценивается исходное уравнение регрессии. Затем составляется вспомогательное уравнение регрессии, в котором зависимой переменной являются остатки исходного уравнения, а независимыми – константа, исходные независимые переменные и лаговые значения остатков исходного уравнения. Число лаговых значений остатков во вспомогательном уравнении определяется эмпирически. Затем оценивается вспомогательное уравнение и рассчитывается статистика , где n – объём выборки, а – коэффициент множественной детерминации вспомогательного уравнения. Доказано, что если автокорреляция в остатках исходного уравнения отсутствует, то статистика следует распределению (хи-квадрат распределению с p степенями свободы), где p – максимальное число лаговых значений остатков во вспомогательном уравнении. Если окажется, что > , то гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках отклоняется.

Опишем этот тест на примере уравнения регрессии с двумя переменными. Пусть рассматривается следующее исходное уравнение:

.

Чтобы протестировать остаточные члены этого уравнения на автокорреляцию (на серийную корреляцию) по тесту Бройша – Годфри, оценим исходное уравнение стандартным МНК и составим вспомогательное уравнение

.

Этим тестом проверяется нулевая гипотеза : , против альтернативной гипотезы : не все . После оценки вспомогательной регрессии проверяется неравенство > и делается соответствующий вывод на основе расчётного уровня значимости. В EViews этот тест называется serial correlation LM test – тест максимального правдоподобия на последовательную корреляцию. Реализуется этот тест выбором процедуры «View/Residual Tests/serialcorrelation LM test». В диалоговом окне теста будет предложено выбрать максимальный порядок лага (по умолчанию проставлен 2). Выбор величины лага зависит от того, какой максимальный порядок автокорреляции в остатках необходимо проверить.

Отметим ещё раз, что тестирование остатков регрессии на автокорреляцию в основном рекомендуется, если анализируются временные ряды. При анализе пространственной информации изучаются в основном случайные выборки, и понятие порядка автокорреляции теряет смысл.