 |
Потоки платежей. Аннуитет
|
|
|
|
При оценке денежного потока СF 1, СF 2, …, СFn, генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования какого-либо вида актива, чаще всего рассматриваются равные временные периоды и однонаправ-ленный поток (отсутствует чередование оттока и притока денежных средств). Также считается, что генерируемые в рамках одного вре-менного периода денежные поступления не распределены внутри пе-риода, а сконцентрированы на одной из его границ. Если поступле-ния денежных средств имеют место в начале периода, то поток носит название потока пренумерандо, если поступления средств фиксиру-ются в конце временного периода, то поток называется потоком
постнумерандо (рис. 3.2).
а б
Рис. 3.2. Графическое представление потоков пренумерандо1 (а) и постнумерандо (б)
На практике наибольшее распространение получил поток пост-нумерандо, так как в системе учёта подведение итогов и определение финансовых результатов производится по окончании очередного от-чётного периода. Поток пренумерандо используется при анализе раз-личных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.
1 Ковалёв В.В. Курс финансового менеджмента: учеб. М.: ТК Велби; Проспект, 2008. С. 93.
Поток однонаправленных платежей с равными интервалами ме-жду последовательными платежами в течение определённого коли-чества лет носит название «аннуитет» (финансовая рента). Аннуи-теты подразделяются на срочные (платежи производятся в течение срока, установленного договором) и бессрочные (пожизненные).
К аннуитету относят один из видов государственного займа, по которому кредитор получает определённый годовой доход, устанав-ливаемый таким образом, что одновременно с выплатами процентов по займу происходит постепенное погашение части основной суммы долга. К аннуитету относятся также равные друг другу денежные платежи, выплачиваемые через определённые промежутки времени в счёт погашения полученного кредита (займа), включая проценты по нему. Наиболее яркими примерами аннуитета являются регуляр-ные взносы в пенсионный фонд, на которые начисляются проценты, а также денежные платежи в счёт погашения ипотечного кредита с уплатой процентов.
|
|
|
Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соот-ветствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо (или авансового аннуитета), если же платежи осуществляются в конце интервалов, то аннуитет носит название аннуитета постну-
мерандо (или обыкновенного аннуитета).
Задача наращения денежного потока аннуитета постнумерандо при величине каждого отдельного платежа А, числе платежей n и процентной ставке r решается по формуле
= (1+ r) n −1
FVpst А r .
Для потока пренумерандо период начисления процентов увели-чивается на один, т.е. каждая наращенная сумма увеличивается в (1 +n) раз, следовательно, формула трансформируется следующим образом:
FVpre = FVpst (1+ r).
Задача дисконтирования денежного потока аннуитета постнуме-рандо при величине каждого отдельного платежа А, числе платежей n и процентной ставке r решается по формуле
| PVpst = А | 1− (1 + r)− n | . | |
| r | |||
Для потока пренумерандо формула трансформируется следую-щим образом:
PVpre = PVpst (1+ r).
Иногда при оценке инвестиционных проектов рассматриваются денежные поступления в течение неопределённо длительного перио-да времени (50 и более лет). В этом случае используются формулы бессрочного аннуитета. При n → ∞ задача наращения смысла не име-ет, так как FC → ∞. Для дисконтирования денежного потока форму-лы преобразуются следующим образом:
|
|
|
а) для аннуитета постнумерандо:
| PVpst = | А | . | (3.2) | ||
| r | |||||
| б) для аннуитета пренумерандо: | |||||
| PVpre = A + | А | . | (3.3) | ||
| r |
Формулы (3.2) и (3.3) используются для оценки целесообразно-сти приобретения бессрочного аннуитета, где в качестве ставки дис-контирования rd обычно рассматривается безрисковая процентная ставка.
Более подробно финансовая математика аннуитетов рассмотре-на в учебнике под редакцией Е.С. Стояновой1.
1 Финансовый менеджмент: теория и практика: учеб. / под ред. Е.С. Стояно-
вой. М.: Перспектива, 1999. С. 116–132.
ПРИМЕР
Организация предполагает арендовать помещение сроком на 5 лет. На выбор предлагаются два варианта: 1000 тыс. руб. в конце каждого года (аннуитет постнумерандо) или 900 тыс. руб. в начале каждого года (аннуитет пренумерандо). Необходимо определить, ка-кой из вариантов договора является более предпочтительным для арендатора, если процентная ставка равна 15 % годовых?
| Стоимость аннуитета постнумерандо | ||||||||||
| PVpst = А | 1 − (1 + r)− n | 1 − (1 +0,15)−5 | 314,6 тыс. руб. | |||||||
| r | = 1000 | 0,15 | = 3 | |||||||
| Стоимость аннуитета пренумерандо | ||||||||||
| PVpre = А | 1 − (1 + r)− n | (1 + r) = | ||||||||
| r | ||||||||||
| = 900 | 1 − (1 +0,15)−5 | (1 + 0,15) = 3 | 430,6 | тыс. руб. | ||||||
| 0,15 | ||||||||||
Результаты расчётов свидетельствуют о том, что второй вари-ант, несмотря на меньшую сумму арендных платежей (900 тыс. руб.), менее выгоден для организации, так как в конечном итоге предпола-гает бóльшую сумму выплат.
Этот аспект обусловлен тем, что организация лишается возможно-сти использовать в течение первого года сумму в 900 тыс. руб. и получить дополнительный доход в размере 900 · 0,15 = 135 тыс. руб., дисконтированное значение которого составит: 135/(1+0,15) =
|
|
|
= 117,39 тыс. руб.
|
|
|
