 |
Построение и тестирование датчиков БСВ.
|
|
|
|
Базовой случайной величиной (БСВ) в статистическом моделировании называют непрерывную случайную величину z, равномерно распределенную на интервале (0£ t £ 1). Её плотность распределения вероятностей (п. р. в.) задаётся формулой:
f (t) = 1,(0£ t £1).
Математическое ожидание (м. о.) M (z) и дисперсия D (z) базовой случайной величины z имеют следующие значения: M (z) = 1/2 и D (z) = 1/15. Нетрудно определить и начальный момент r -го порядка: M (zr) =1/(r +1), (r = 1, 2, …).
БСВ моделируются на ЭВМ с помощью программных датчиков. Датчик БСВ – это программа, выдающая по запросу одно случайное значение БСВ z Î{0£ t £1}. Путём многократного обращения к датчику БСВ получают выборку независимых случайных значений z 1, z 2, z 3, …, zn.
Программный датчик БСВ обычно вычисляет значения z 1, z 2, z 3, … по какой-либо рекуррентной формуле вида
(7.1)
при заданном стартовом значении z 0.
Заданное значение z 0 полностью определяет посредством формулы (7.1) всю последовательность z 1, z 2, z 3, …, поэтому величину z на выходе датчикаБСВназывают псевдослучайной величиной. В практическом применении датчиков БСВ статистические свойства псевдослучайной последовательности чисел в широких пределах идентичны свойствам «чисто случайной» последовательности.
Программные датчики БСВ обладают, по сравнению с аппаратными датчиками, следующими достоинствами:
– простотой создания датчиков;
– простотой применения;
– простотой тиражирования датчиков;
– надёжностью;
– быстродействием;
– компактностью;
– высокой точностью достижения необходимых статистических свойств, сравнимой с точностью представления вещественных чисел;
– возможностью повторного воспроизведения, когда это нужно, любой последовательности случайных значений без их предварительного запоминания.
|
|
|
Путём преобразования БСВ можно получать модельные реализации многих других случайных объектов, включая любые непрерывные или дискретные случайные величины (как простые, так и многомерные), случайные события, случайные процессы, графы, схемы и т. д. Поэтому БСВ z называют базовой случайной величиной.
Для построения программно реализуемых датчиков широко используется конгруэнтный метод. Так называемый мультипликативный конгруэнтный датчик БСВ однозначно задаётся двумя параметрами: модулем m и множителем k. Обычно эти параметры представляют собой достаточно большие целые числа. При заданных m, k псевдослучайные числа zi вычисляются мультипликативным конгруэнтным датчиком по рекуррентной формуле:
(7.2)
где m – модуль,
k – множитель,
A 0 – начальное значение,
mod – операция вычисления остатка от деления произведения (k×A i-1) на m.
Датчик (7.2) дает периодическую псевдослучайную последовательность z 1, z 2, … с длиной периода T ≤ m –1. Чтобы длина периода T была максимальной, модуль m берут близким к максимальному представимому в компьютере целому числу. Для упрощения операций деления и вычисления остатков в двоичных ЭВМ часто берут m =2 n. Рекомендуется также брать достаточно большой множитель k, причем взаимно простой с m.
Заметим, что не существует рекомендаций, гарантирующих высокое качество датчиков до того, как будет проведено их специальное тестирование.
Обозначим равномерное распределение вероятностей на интервале (0, 1) через R[0,1] и утверждение, что БСВ z имеет распределение R[0,1], кратко запишем в виде z ~ R[0,1].
С помощью статистических тестов проверяют два свойства датчика БСВ, делающих его точной моделью идеальной математической БСВ: во-первых, проверяют равномерность распределения чисел, выдаваемых датчиком на интервале (0, 1), и, во-вторых, их статистическую независимость. При этом последовательность псевдослучайных чисел zi на выходе датчика рассматривают как статистическую выборку.
|
|
|
Проверка равномерности распределения БСВ сводится к построению эмпирических вероятностных характеристик (моментов и распределений) случайной величины (с.в.) z по выборке z 1, z 2, z 3, …, zn и их сравнению с теоретическими характеристиками равномерного распределения R[0,1]. В силу закона больших чисел с ростом длины выборки n эмпирические характеристики должны приближаться к теоретическим. При этом, поскольку компьютер позволяет легко получать выборки весьма большой длины, такое сближение эмпирических и теоретических характеристик можно наблюдать непосредственно, без использования специальных статистических тестов.
Простейшую проверку статистической независимости БСВ можно осуществить, оценивая линейную корреляцию между числами zi и zi+s, отстоящими друг от друга в псевдослучайной последовательности на фиксированный шаг s ≥1. Тогда во всей выборке z 1, z 2, …, zn имеем следующие (n–s) реализаций пары
По этим реализациям можно рассчитать оценку 
коэффициента корреляции для значений БСВ по формуле
Коэффициент корреляции двух с.в. характеризует степень линейной зависимости между ними. Поэтому с ростом длины выборки n оценка 
должна приближаться к нулю. Если это выполняется, то тест на линейную зависимость можно считать успешно пройденным.
Как явная дискретность БСВ zi, так и явная их функциональная зависимость (каждое следующее значение БСВ однозначно определяется предыдущим 
) логически несовместимы с требованиями непрерывности и независимости, но на практике это имеет ограниченное значение. В то же время, это замечание о противоречивом характере требований к датчикам БСВ указывает на необходимость применения только тех датчиков БСВ, которые разработаны и тщательно выверены компьютерными математиками-профессионалами.
В настоящее время, как правило, любые языки программирования и пакеты моделирования содержат встроенные датчики БСВ и необходимость в самостоятельной разработке или тестировании датчиков возникает редко.
|
|
|
|
|
|
