 |
Моделирование нормальной случайной величины.
|
|
|
|
Утверждение, что некоторая с.в. x имеет нормальное распределение с м.о. M (x)= m и дисперсией D (x) = s2, будем записывать в виде x ~ N [ m, s]. Функция распределения вероятностей такой с.в. имеет вид
(7.8)
Составив уравнение F (x) = z и разрешив его относительно х, получим модель для разыгрывания значений нормальной с.в.:
(7.9)
Практическое применение формулы (7.9) при использовании БСВ затруднительно, так как оно связано с необходимостью вычисления обратной функции Лапласа F-1(×). Аналитических формул для этого нет. Существуют и применяются в расчетах таблицы значений обратной функции. Алгоритмизировать же расчет обратной функции Лапласа в процедурах ИМ при необходимости получения нормально распределенных чисел, представляется возможным только с применением приближенные формул. Для того чтобы их избежать, применяется другой метод.
Для реализации любой нормальной с. в. достаточно иметь датчик стандартной (то есть нормированной и центрированной) нормальной с.в. 
. Чтобы реализовать с.в. x с распределением (7.8) используют следующее линейное преобразование стандартной нормальной с.в. 
:
При этом стандартную нормальную с.в. часто реализуют приближённо как сумму других с.в., основываясь на центральной предельной теореме теории вероятностей. Например, её можно реализовать в виде суммы двенадцати независимых значений БСВ:
(7.10)
Однако такой подход даёт плохое приближение для больших уклонений от среднего, превышающих 2σ.
Метод Бокса и Мюллера позволяет получить два независимых значения 
и 
стандартной нормальной с. в. из двух независимых значений z 1 и z 2 базовой случайной величины по формулам:
(7.11)
|
|
|
На рис. 7.5 приведена гистограмма нормальной с.в., полученной методом Бокса и Мюллера при n =10000.
Рис. 7.5. Гистограмма нормальной с.в. при n =10000.
Этот метод точный, но считается трудоёмким [4]. Однако, как показывают эксперименты, это мнение устарело ввиду того, что современные персональные компьютеры оснащены арифметическими сопроцессорами. Точный метод (7.11) в действительности оказывается также и более быстрым, чем приближённый метод (7.10).
Метод отбора. Метод предложен фон Нейманом. Называется также методом Неймана, методом исключения.
Рассмотрим вариант метода, когда требуемое распределение задано плотностью вероятности, отличной от нуля на конечном интервале [ a,b ]. Алгоритм состоит в следующем. Из очередной пары базовых чисел z 1 и z 2 находятся два числа:
(7.12)
где fm максимальное значение плотности f (х).
Еcли u 2< f (u 1), т.е. если точка (u 1, u 2)лежит под графиком f (x) (рис. 7.6), то u 1 принимается в качестве очередного числа xn.
| f (x) |
| fm u 2 0 |
| a u 1 c d b x |
| u 1, u 2 |
Рис. 7.6. Иллюстрация метода отбора
В противном случае берется следующая пара базовых чисел, и процедура повторяется.
Убедимся, что отобранные числа имеют требуемый закон распределения. Согласно (7.12) точка (u 1, u 2) равномерно распределена в прямоугольнике с основанием [ a,b ] и высотой fm, площадь которого равна
S = (b – a)∙ fm.
Следовательно, вероятность попадания точки под график f (x) равна отношению площади под графиком к площади прямоугольника, т.е. равна
а вероятность попадания точки под график в пределах участка [ c,d ] (заштрихованная область на рис. 7.6) равна
Таким образом, доля точек, отобранных в качестве xn на участке [ c,d ] по отношению ко всем точкам составляет
что и означает соблюдение требуемого закона распределения.
Линейные преобразования с.в. Пусть x - с.в. и
y = Ax + B, (7.13)
|
|
|
где A, B - константы; A - коэффициент, B - смещение. Преобразование с.в. x вида (7.13) называется линейным.
Многие непрерывные с.в. в результате линейного преобразования не меняют вид распределения (меняются только его параметры). К таким относятся экспоненциальной или эрланговской с.в. вид распределения сохраняется только при масштабном преобразовании, т.е. когда смещение B = 0.
Очевидно, при линейном преобразовании (8.6) имеет место:
M(y) = AM(x) + B,
D(y) = A D(x).
Линейное преобразование (8.6) часто применяется для того, чтобы при наличии генератора непрерывной с.в. x получить другую с.в. y с тем же распределением, но с другими значениями м.о. и дисперсии
|
|
|
