 |
Раскрытие математических неопределённостей.
|
|
|
|
I. При вычислении 
возможен случай, когда 
=0, т.е. дробь терпит разрыв в точке 
. В этом случае говорят, что имеем неопределённость 
. Происходит это потому, что функции 
содержат множитель 
, который обращается в 0 при 
.Необходимо его выделить и сократить дробь по схеме: 
Примеры. Найти указанные пределы:
Решение. 1) Найдём корни трёхчленов: 
2) Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженные им выражения
3) Во многих случаях используют первый замечательный предел и следствия из него: 
.
II. Если при 
и 
, то отношение 
представляет неопределённость вида 
. В этом случае рекомендуется числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень x.
Примеры. Вычислить указанные пределы:
Решение. 1) Разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень 
, получим:
2) Старшая степень в этом примере 
, поэтому числитель и знаменатель разделим на x: 
III. При вычислении 
возможен случай, когда 
и . Тогда разность 
есть неопределённость 
. С помощью тождественных преобразований она приводится к виду или .
Пример. Вычислить предел 
Решение. Приведём дроби к общему знаменателю, предварительно разложив знаменатель первой дроби по формуле разности кубов. 
IV.Раскрытие степенных неопределённостей 
Пусть необходимо найти 
.
Если при этом:
и , то имеем неопределённость 
;
и 
, то имеем неопределённость 
и , то имеем неопределённость 
.
Эти неопределённости раскрываются с помощью второго замечательного предела: 
Используются также следствия из этой формулы:
Примеры. Вычислить указанные пределы:
Решение.
1) 
2) Здесь 
, поэтому получим неопределённость вида . Так как 
, то 
. Обозначим 
, тогда 
при 
, причём 
. Найдём предел основания: 
. Найдём предел показателя: 
.Таким образом 
.
|
|
|
Односторонние пределы.
Если 
и 
, то принято писать 
. Если 
и , то принято писать 
. Пределы 
и 
, если они существуют, называют соответственно пределом слева (левосторонним пределом) функции 
в точке 
и пределом справа (правосторонним пределом) функции в точке . Для существования предела функции в точке 
необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы существовали порознь и равнялись бы между собой, т.е. 
.
Примеры. Найти односторонние пределы функции:
1) 
при 
;
2) 
при 
;
Решение. 1) 
, т. к. 
.
, т. к. 
.
Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке 
не существует.
2) 
, где 
; отсюда видно, что если 
, то 
.
.
Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке 
не существует.
Непрерывные функции.
Для существования предела 
не имеет значения, определяется или нет эта функция в точке . Например, функция 
не определена при 
(неопределенность ), однако 
(первый замечательный предел).
Дадим несколько определений непрерывной в точке функции, если 
определена на некотором интервале, содержащем точку .
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполняется одно из следующих эквивалентных между собой условий:
1. 
(на языке пределов);
2. Для всякой последовательности значений аргумента 
, сходящейся к точке , соответствующая последовательность 
значений функции сходится к 
, то есть 
. (на языке последовательностей);
3. 
;
4. а) если 
определена в точке и вблизи этой точки;
б) существует 
, существует 
и 
;
в) 
.
Если нарушается хотя бы одно из условий а)- в) пункта 4, то в точке функция терпит разрыв. При этом - точка разрыва первого рода (точка конечного скачка), если существуют оба односторонних предела 
и 
; - точка разрыва второго рода (точка бесконечного скачка), если 
или 
. На графике это выглядит следующим образом.
|
y y y|
|
|
 | |||
 | |||
x x
x
(а) (б) (в)
Рис. 3
На рисунке 3 (а) график функции состоит из двух ветвей и одной точки 
, где 
по условию: 
Функция определена на всей числовой прямой, неэлементарная, т. к. задана двумя различными формулами. Исследуем ее непрерывность в точке 
, где изменяется ее аналитическое выражение: 
. В точке устранимый разрыв, в остальных точках она непрерывна.
На рисунке 3 (б) изображена функция 
, она исследуется в точке , в остальных точках данная функция определена. Найдем предел функции слева в точке : 
. Найдем предел справа в этой же точке: 
. Отсюда 
. Следовательно, в точке функция 
имеет разрыв первого рода. Скачок функции в точке равен модулю разности 
. Во всех других точках числовой прямой функция непрерывна, т. к. задана элементарными функциями.
На рисунке 3 (в) представлена неэлементарная функция 
, которая определена на всем множестве действительных чисел, задана тремя разными формулами на различных промежутках изменения аргумента: 
Исследуем непрерывность функции в точках 
и : 
; 
.
По условию 
, следовательно, 
, т. е. непрерывна в точке .
, т. е. имеет разрыв второго рода. В остальных точках числовой оси функция непрерывна.
При отыскании точек разрыва функции следует учесть, что элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, где она не определена.
Неэлементарная функция может иметь разрывы как в точках, в которых она не определена, так и в точках, где она определена; если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями(формулами) для различных интервалов изменения аргумента, то она может иметь разрывы в тех точках, при переходе через которые изменяется ее аналитическое выражение.
|
|
|
