Раскрытие математических неопределённостей.
I. При вычислении
возможен случай, когда
=0, т.е. дробь терпит разрыв в точке
. В этом случае говорят, что имеем неопределённость
. Происходит это потому, что функции
содержат множитель
, который обращается в 0 при
.Необходимо его выделить и сократить дробь по схеме: 
Примеры. Найти указанные пределы:

Решение. 1) Найдём корни трёхчленов: 


2) Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженные им выражения

3) Во многих случаях используют первый замечательный предел и следствия из него:
.

II. Если при
и
, то отношение
представляет неопределённость вида
. В этом случае рекомендуется числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень x.
Примеры. Вычислить указанные пределы:

Решение. 1) Разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень
, получим:

2) Старшая степень в этом примере
, поэтому числитель и знаменатель разделим на x: 
III. При вычислении
возможен случай, когда
и
. Тогда разность
есть неопределённость
. С помощью тождественных преобразований она приводится к виду
или
.
Пример. Вычислить предел 
Решение. Приведём дроби к общему знаменателю, предварительно разложив знаменатель первой дроби по формуле разности кубов. 
IV.Раскрытие степенных неопределённостей 
Пусть необходимо найти
.
Если при этом:
и
, то имеем неопределённость
;
и
, то имеем неопределённость 
и
, то имеем неопределённость
.
Эти неопределённости раскрываются с помощью второго замечательного предела: 
Используются также следствия из этой формулы:

Примеры. Вычислить указанные пределы:

Решение.
1) 
2) Здесь
, поэтому получим неопределённость вида
. Так как
, то
. Обозначим
, тогда
при
, причём
. Найдём предел основания:
. Найдём предел показателя:
.Таким образом
.
Односторонние пределы.
Если
и
, то принято писать
. Если
и
, то принято писать
. Пределы
и 
, если они существуют, называют соответственно пределом слева (левосторонним пределом) функции
в точке
и пределом справа (правосторонним пределом) функции
в точке
. Для существования предела функции
в точке
необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы существовали порознь и равнялись бы между собой, т.е.
.
Примеры. Найти односторонние пределы функции:
1)
при
;
2)
при
;
Решение. 1)
, т. к.
.
, т. к.
.
Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке
не существует.
2)
, где
; отсюда видно, что если
, то
.
.
Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке
не существует.
Непрерывные функции.
Для существования предела
не имеет значения, определяется или нет эта функция в точке
. Например, функция
не определена при
(неопределенность
), однако
(первый замечательный предел).
Дадим несколько определений непрерывной в точке
функции, если
определена на некотором интервале, содержащем точку
.
Определение. Функция
называется непрерывной в точке
, если выполняется одно из следующих эквивалентных между собой условий:
1.
(на языке пределов);
2. Для всякой последовательности значений аргумента
, сходящейся к точке
, соответствующая последовательность
значений функции сходится к
, то есть
. (на языке последовательностей);
3.
;
4. а) если
определена в точке
и вблизи этой точки;
б) существует
, существует
и
;
в)
.
Если нарушается хотя бы одно из условий а)- в) пункта 4, то в точке
функция терпит разрыв. При этом
- точка разрыва первого рода (точка конечного скачка), если существуют оба односторонних предела
и
;
- точка разрыва второго рода (точка бесконечного скачка), если
или
. На графике это выглядит следующим образом.

y y y

x x
x
(а) (б) (в)
Рис. 3
На рисунке 3 (а) график функции состоит из двух ветвей и одной точки
, где
по условию: 
Функция определена на всей числовой прямой, неэлементарная, т. к. задана двумя различными формулами. Исследуем ее непрерывность в точке
, где изменяется ее аналитическое выражение:
. В точке
устранимый разрыв, в остальных точках она непрерывна.
На рисунке 3 (б) изображена функция
, она исследуется в точке
, в остальных точках данная функция определена. Найдем предел функции слева в точке
:
. Найдем предел справа в этой же точке:
. Отсюда
. Следовательно, в точке
функция
имеет разрыв первого рода. Скачок функции в точке
равен модулю разности
. Во всех других точках числовой прямой функция
непрерывна, т. к. задана элементарными функциями.
На рисунке 3 (в) представлена неэлементарная функция
, которая определена на всем множестве действительных чисел, задана тремя разными формулами на различных промежутках изменения аргумента: 
Исследуем непрерывность функции в точках
и
:
;
.
По условию
, следовательно,
, т. е.
непрерывна в точке
.
, т. е.
имеет разрыв второго рода. В остальных точках числовой оси функция непрерывна.
При отыскании точек разрыва функции следует учесть, что элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, где она не определена.
Неэлементарная функция может иметь разрывы как в точках, в которых она не определена, так и в точках, где она определена; если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями(формулами) для различных интервалов изменения аргумента, то она может иметь разрывы в тех точках, при переходе через которые изменяется ее аналитическое выражение.
Воспользуйтесь поиском по сайту: