 |
Задания для самостоятельной работы.
|
|
|
|
№1.Вычислить производные указанных функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
;
13) 
;
14) 
;
15) 
;
16) 
;
№2. Привести несколько примеров функции 
, для которой:
а) 
б) 
;
№3. 
. При каких значениях x выполняется условие:
№4. Вычислить 
если 
.
№5. Вычислить значения производной функции 
в точках, в которых значение этой функции равно 0:
№6. Тело движется по прямой так, что расстояние 
от начальной точки изменяется по закону 
(м), где 
- время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?
№7. Материальная точка массой 2г движется прямолинейно по закону 
(
- в сантиметрах, - в секундах). В момент времени 
найдите:
а) скорость 
движения точки;
б) ускорение движения 
;
в) силу, действующую на точку 
.
№8. Тело, выпущенное вверх с начальной скоростью 
м/с, движется по закону 
( - в метрах, - в секундах). Найдите момент времени, когда скорость движения тела будет в три раза меньше начальной скорости, считая что 
м/с.
№9. Показать, что функция 
обращает уравнение 
в тождество.
№10. Показать, что функция 
удовлетворяет уравнению 
.
№11. Показать, что функция 
удовлетворяет уравнению 
.
№12. Найти дифференциал функции 
в точке 
, если 
, 
.
№13. Найти производные второго порядка от следующих функций:
№14. Применяя правило Лопиталя вычислить пределы функций:
1) 
; 2) 
;
3) 
4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
Ответы:
№1.1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
; 9) 
; 10) 
; 11) 
; 12) 
; 13) 
; 14) 
; 15) 
; 16) 
.
№3. а)1; -2; б) 0; -1;
№4. 
;
№5. а) 
; б) 2;
№6. 2 с;
№7. а) 25 см/с; б) 16 см/с 
; в) 32 дины.
№8. 
с.
№12. 
;
№13. 
№14. 
«Я с дрожью ужаса отворачиваюсь от ваших несчастных
проклятых функций, у которых нет производных».
|
|
|
(Ш. Эрмит)
Исследование функций при помощи производных.
Возможность применения производных для исследования функций основана на зависимости, существующей между производными и особенностями графика функции.
Монотонность функции.
Теорема. Пусть функция непрерывна на 
и дифференцируема на 
.
1. Если 
для любого значения аргумента из интервала , то функция возрастает на этом интервале.
2. Если 
для любого значения аргумента из интервала , то функция убывает на этом интервале.
3. 
Если 
для любого значения аргумента из интервала , то функция постоянна на этом интервале.
Пример: Определить интервалы монотонности заданной функции.
1) 
.
Решение. Функция определена, непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси. Найдем производную первого порядка функции. 
.
Корни производной найдем из условия 
.
Методом интервалов исследуем знаки первой производной (рис.9).
Рис.9
При 
или 
производная 
, следовательно, функция возрастает. Для 
производная 
<0, следовательно, функция убывает.
2) 
.
Решение. Функция определена, непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси.
Рис.10
Функция возрастает, если 
Функция убывает, если 
(рис.10).
Экстремум функции.
Теорема (I достаточное условие существования экстремума функции).
Если производная функции в точке 
равна 0 () и при переходе через эту точку изменяет знак на противоположный, то данная точка является точкой экстремума функции, а именно:
- точкой максимума, если при переходе через неё слева направо знак производной изменяется с + на -.
- Точкой минимума, если при переходе через неё слева направо знак производной изменяется с - на +.
Для определения точек экстремума можно воспользоваться также следующей теоремой.
Теорема (II достаточное условие существования экстремума).
Пусть 
и 
, тогда - точка экстремума функции , причем 
-точка максимума, если 
,
|
|
|
- точка минимума, если 
.
Экстремумом функции называют значение функции в точке экстремума.
Пример. Найти экстремумы функции 
.
Решение. Функция определена, непрерывна и дифференцируема при 
.
.
Для нахождения точек экстремума воспользуемся I достаточным признаком.
Рис.11
x =0 - точка max, т.к. знак производной изменяется с + на -.
x =6 - точка min, т.к. знак производной изменяется с - на +.
Значения 0 и 12 - экстремумы функции (рис.11).
|
|
|
