Производные высших порядков.
Производную
функции
называют также производной первого порядка. Функция
также может быть дифференцируемой, ее производная будет называться производной второго порядка функции
.
Обозначение:
,
.
Производная от производной второго порядка (если она существует) называется производной третьего порядка и т. д.
Производной
- го порядка называется производная от производной
- го порядка, т. е.
.
Для обозначения производных четвертого и выше порядков используют римские цифры. Например,
или
- производная шестого порядка. Производные порядков, выше первого, называются производными высших порядков.
Пример 1. Вычислить производную третьего порядка функции
.
Решение: Нахождение производной третьего порядка необходимо начать с производной первого порядка.


.
Если функция
описывает закон прямолинейного движения материальной точки, то производная второго порядка функции представляет собой скорость изменения скорости функции (т. е. ускорение) в определенный момент времени
. В этом состоит ее физический смысл.
Пример 2. Найти зависимость ускорения прямолинейного движения, заданного законом от времени
.
Решение:

.
Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону 
Найти скорость и ускорение движения точки для момента времени t=1 (S дается в сантиметрах,t -в секундах).
Решение: скорость
;
ускорение
Следовательно, в момент времени t = 1: 

Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
С понятиями производной тесно связано понятие дифференциала (от него происходит название дифференциального исчисления). Пусть функция
определена в некоторой окрестности точки
. Дадим аргументу приращение
и рассмотрим приращение функции
.
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке
, если приращение функции
в точке
может быть представлено в виде
, где
и
- бесконечно малые при
, причем
- бесконечно малая величина одного порядка с
(
- бесконечно малая функция более высокого порядка, чем
). Величина
называется главной частью приращения функции или дифференциалом функции
в точке
и обозначаемая
.
Определение. Дифференциалом функции
в точке
называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, т. е.
ил
.
Примеры.
1). Найти дифференциал функции
.
Решение.По формуле
находим
.
2).Найти дифференциал функции
в точке
, если
.
Решение:
.
.
Геометрический смысл дифференциала:

L
K
Рис. 8
Проведем к графику функции
в точке
касательную
, угол наклона которой равен
. Рассмотрим
, в котором сторона
. Учитывая, что
,
, получим:
, сравнивая с определением дифференциала функции.
.
Т.о. дифференциал
функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, когда аргумент получит приращение
(рис.8). Из определения дифференциала и правил вычисления производных следуют правила вычисления дифференциала функции:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
Вычисление пределов по правилу Лопиталя.
(Гильом Франсуа Антуан де Лопиталь (1661-1704), французский математик; автор первого учебника по дифференциальному исчислению).
Пусть функции
и
дифференцируемы в некоторой окрестности точки
, за исключением, быть может, самой точки
и
. Пусть также
(или
) в указанной окрестности точки
. Тогда, если существует
, то
.
Правило применимо для устранения неопределенностей
и других неопределенностей, к ним сводящихся.
Если в частном
в точке
неопределенность
или
по прежнему остается, то следует перейти к отношению
и т. д..
Примеры. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.


Воспользуйтесь поиском по сайту: