Общая схема исследования функции.
1. Найти область определения функции (т.е. те значения, которые может принимать аргумент x). Обозначение: D(y). 2. Общие свойства функции. а) чётность; Функция называется чётной, если её область определения симметрична относительно x=0 и для любого x из области определения выполняется равенство: (рис.18).
Рис.17 Рис.18
б) периодичность; Функция в) точки пересечения с осями координат. Замечание. Если исследование по какому-либо из пунктов а)-в) требует сложных вычислений или громоздких преобразований, то этот пункт исследования можно опустить. 3. Монотонность, экстремумы функции. 4. Направление выпуклости, точки перегиба. 5. Асимптоты. 6. Поведение функции на бесконечности (найти 7. Дополнительные точки. Примеры. Исследовать функцию и построить график. а) y= Решение. 1) В нашем случае D(y)=(-µ;+µ), так как имеем многочлен третьей степени, графиком этой функции является кубическая парабола, она определена для любого значения х. 2) Исследуем функцию на четность и нечетность, периодичность, найдём нули функции.
Условия у(-х)=у(х) или у(-х)=-у(х) не выполняются, поэтому функция не является ни четной ни нечетной (или является функцией общего вида). Очевидно, функция непериодическая. Найдем нули функции (для этого решим уравнение у =0). 1) 3) Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Имеем y¢= y¢=0,
Из таблицы видно, что умах=у(-1)= 4) Найдём интервалы выпуклости, вогнутости графика, точки перегиба. На этом этапе исследования находим вторую производную. В данном случае: Исследуем знак у¢¢ на интервалах, на которые область определния разбивается этими точками. Результаты представлены в таблице:
Из таблицы видно, что промежуток 5) Функциональное выражение функции - многочлен, а многочлены асимптот не имеют. 6). Исследуем поведение функции на бесконечности:
. 7) Построим график с учетом всего предыдущего исследования (при необходимости следует уточнить отдельные участки кривой, вычислив координаты нескольких дополнительных точек; рис19).
![]() ![]()
![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]() Рис.19 б) Решение. 1). 2). 3). Производная имеет вид Решая неравенство f' (x) > 0, получаем: x при x = 0 функция, очевидно, непрерывна, так что f (x) возрастает на объединённом интервале, то есть при x
4). Найдем экстремумы функции. В точке
Рис.20 Для более точного построения вычисляются дополнительные точки. Чертеж графика функции приведен на рис.20.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|