Случайные погрешности прямых измерений

Оценка истинного значения измеряемой величины

Случайные погрешности проявляются при многократных измерениях одной и той же величины в одинаковых условиях. Влияние случайных погрешностей на результат измерений надо учитывать и стремиться по возможности уменьшать.

Пусть в процессе прямых измерений получен ряд значений физической величины: Х ₁, Х ₂, Х ₃ ,..., Х_n.

Как оценить истинное значение величины и найти случайную погрешность измерений?

Для большинства измерений наилучшей оценкой истинного значения Х_ист, как показано в математической теории погрешностей, следует считать среднее арифметическое Х_ср ряда измеренных значений (в данной работе для обозначения среднего арифметического значения используется индекс “ср”, например Х_ср или черта над величиной, например ):

, (1.1)

где n – количество проведенных измерений величины Х.

Оценка случайной погрешности

Теперь надо ответить на вопрос: чему равна случайная погрешность D _сл полученной выше величины Х_ср?

В теории погрешностей показано, что в качестве оценки случайной погрешности D _сл среднего арифметического значения Х_ср следует брать так называемое среднее квадратическое отклонение s, которое вычисляется по формуле:

. (1.2)

Очень важной особенностью этой формулы является то, что определяемая величина случайной погрешности s уменьшается при увеличении числа измерений n. (систематическая погрешность этим свойством не обладает). Значит, если необходимо уменьшить случайную погрешность, то это можно сделать путем увеличения количества повторных измерений.

Эта величина погрешности определяет тот интервал, внутрь которого попадает истинное значение измеренной величины с определённой вероятностью Р. Чему же равна эта так называемая доверительная вероятность?

Теория погрешностей показывает, что для большого количества измерений n >30, если случайную погрешность принять равной среднему квадратическому отклонению D _сл=s, то доверительная вероятность равна 0,68. Если в качестве оценки случайной погрешности взять удвоенное значение D _сл= 2 s, то внутрь этого увеличенного интервала истинное значение будет при многократных измерениях попадать с доверительной вероятностью Р= 0,95, для интервала D _сл= 3 s вероятность Р= 0,997 (рис. 1.1).

В интервал 1 (см. рис. 1.1) истинное значение величины Х может попасть с вероятностью Р= 0,68, в интервал 2 - с вероятностью Р= 0,95, в интервал 3 – с вероятностью Р= 0,997.

Какой же оценкой для случайной погрешности следует пользоваться? Для измерений, которые проводятся с учебными целями, достаточно в качестве оценки D _сл брать s, для которой Р= 0,68. Для научных измерений обычно используют оценку D _сл= 2 s с Р= 0,95. В особо ответственных случаях, когда проводимые измерения связаны с созданием эталонов или имеют значение для здоровых людей, в качестве оценки случайной погрешности берут 3 s, для которой Р= 0,997.

В лабораторных работах можно брать в качестве оценки случайной погрешности D _сл величину s, для которой доверительная вероятность Р= 0,68.