Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Погрешности косвенных измерений

Теперь необходимо рассмотреть вопрос о том, как находить погрешность физической величины U, которая определяется путем косвенных измерений. Общий вид уравнения измерения

Y = f (Х ₁, Х ₂, …, Х_n), (1.4)

где Х_j – различные физические величины, которые получены экспериментатором путем прямых измерений, или физические константы, известные с заданной точностью. В формуле они являются аргументами функции.

В практике измерений широко используют два способа расчета погрешности косвенных измерений. Оба способа дают практически одинаковый результат.

Способ 1. Сначала находится абсолютная D, а затем относительная d погрешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые содержат суммы и разности аргументов.

Общая формула для расчета абсолютной погрешности при косвенных измерениях физической величины Y для произвольного вида f функции имеет вид:

(1.5)

где частные производные функции Y = f (Х ₁, Х ₂, …, Х_n) по аргументу Х_j,

общая погрешность прямых измерений величины Х_j.

Для нахождения относительной погрешности нужно прежде всего найти среднее значение величины Y. Для этого в уравнение измерения (1.4) надо подставить средние арифметические значения величин X_j.

То есть среднее значение величины Y равно: . Теперь легко найти относительную погрешность: .

Пример: найти погрешность измерения объёма V цилиндра. Высоту h и диаметр D цилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём пусть количество измерений n= 10.

Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения имеет вид:

Пусть при Р= 0,68;

при Р= 0,68.

Тогда, подставляя в формулу (1.5) средние значения, найдём:

Погрешность D_V в данном примере зависит, как видно, в основном от погрешности измерения диаметра.

Средний объём равен: , относительная погрешность d_V равна:

, или d_V= 19%.

Окончательный результат после округления:

V =(47±9) мм ³, d_V= 19 %, Р= 0,68.

Способ 2. Этот способ определения погрешности косвенных измерений отличается от первого способа меньшими математическими трудностями, поэтому его чаще используют.

В начале находят относительную погрешность d, и только затем абсолютную D. Особенно удобен этот способ, если уравнение измерения содержит только произведения и отношения аргументов.

Порядок действий можно рассмотреть на том же конкретном примере - определение погрешности при измерении объёма цилиндра

Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же, что и при расчетах по способу 1.

Пусть мм, ; при Р= 0,68;

; при Р=0,68.

-погрешность округления числа p (см. рис. 1.1)

При использовании способа 2 следует действовать так:

1) прологарифмировать уравнение измерения (берём натуральный логарифм)

найти дифференциалы от левой и правой частей, считая независимыми переменными,

;

2) заменить дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность этой же величины, а знаки “минус”, если же они есть перед погрешностями на “плюс”:

;

3) казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для относительной погрешности , однако это не так. Требуется так оценить погрешность, чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверительными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой части формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены последней формулы возвести в квадрат, а затем извлечь корень квадратный из обеих частей уравнения:

Или в других обозначениях относительная погрешность объёма равна:

причём вероятность этой оценки погрешности объёма будет совпадать с вероятностью оценки погрешностей входящих в подкоренное выражение членов:

Сделав вычисления, убедимся, что результат совпадает с оценкой по способу 1:

Теперь, зная относительную погрешность, находим абсолютную:

D _V =0,19 · 47=9,4 мм ³, P =0,68.

Окончательный результат после округления:

V = (47 ± 9) мм³, d_V = 19%, P =0,68.

Контрольные вопросы

1. В чём заключается задача физических измерений?

2. Какие типы измерений различают?

3. Как классифицируют погрешности измерений?

4. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

5. Что такое промахи, систематические и случайные погрешности?

6. Как оценить систематическую погрешность?

7. Что такое среднее арифметическое значение измеренной величины?

8. Как оценить величину случайной погрешности, как она связана со средним квадратичным отклонением?

9. Чему равна вероятность обнаружения истинного значение измеренной величины в интервале от Х_ср - s до Х_ср + s?

10. Если в качестве оценки для случайной погрешности выбрать величину 2s или 3s, то с какой вероятностью истинное значение будет попадать в определённые этими оценками интервалы?

11. Как суммировать погрешности и когда это нужно делать?

12. Как округлить абсолютную погрешность и среднее значение результата измерения?

13. Какие способы существуют для оценки погрешностей при косвенных измерениях? Как при этом действовать?

14. Что нужно записать в качестве результата измерения? Какие величины указать?

Лабораторная работа №2: Определение ускорения силы тяжести при свободном падении тела

Цель работы: на опыте нужно убедиться, что для тел различной массы ускорение свободного падения остается неизменным, а также определить опытным путем его числовое значение и сравнить с известным .

Оборудование: установка Атвуда; миллисекундомер цифровой; набор перегрузков.

Краткая теория

Все тела в природе притягивают друг друга. Закон, которому подчиняется это притяжение, был установлен Ньютоном и носит название закона Всемирного тяготения. Согласно этому закону сила, с которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональна массам этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

, (2.1)

где g – Всемирная гравитационная постоянная, равная ,

m ₁, m ₂ – массы взаимодействующих точек;

r – расстояние между телами.

Если тела не являются материальными точками, задача нахождения сил взаимодействия усложняется. Но если взаимодействующие тела представляют собой однородные шары или однородный шар и материальную точку, то их взаимодействие описывается формулой (2.1), где под r нужно понимать расстояние между центрами взаимодействующих тел.

Притяжение тел осуществляется через гравитационное поле. Оно проявляет себя в том, что помещенное в него другое тело оказывается под действием силы притяжения. Гравитационное поле имеет две важных характеристики: силовую и энергетическую j.

Напряженность гравитационного поля равна:

, (2.2)

где – гравитационная сила, действующая на материальную точку массы m.

Потенциалом гравитационного поля j называют:

, (2.3)

где U_гр – потенциальная энергия, которой обладает в этом поле масса.

Напряженность и потенциал связаны между собой соотношением:

. (2.4)

Зная напряженность, можно вычислить разность потенциалов между точками 1 и 2 гравитационного поля:

. (2.5)

Потенциальную энергию материальной точки массой m в гравитационном поле можно выразить так: , а если гравитационное поле само создано материальной точкой или сферическим телом массой M, то потенциальную энергию материальной точки массой m можно найти следующим образом:

Если одно из взаимодействующих тел – Земля, то гравитационная сила называется силой тяжести. Движение под действием этой силы называется свободным падением, а ускорение, вызываемое этой силой, g – ускорением свободного падения.

При точном решении задач о движении тел относительно земной поверхности нужно учитывать центробежную силу инерции, возникающую во вращающейся (по отношению к инерциальным системам) системе отсчета. Она равна (рис. 2.1):

(2.6)

где m – масса тела,

w – угловая скорость суточного вращения Земли,

R_З – радиус Земли,

j – широта местности.

Рис. 2.1

Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного падения тел обусловлено действием силы , с которой тело притягивается Землей, и силы . Результирующая этих сил есть сила тяжести, равная ( – ускорение свободное падения, учитывающее вращение Земли).

Отличие силы тяжести от силы притяжения к Земле невелико, так как центробежная сила инерции значительно меньше, чем . Разность равна нулю на полюсах и достигает максимума, равного 0,3% силы , на экваторе. Из-за сплюснутости Земли у полюсов сила сама по себе несколько варьирует с широтой, будучи на экваторе примерно на 0,2% меньше, чем у полюсов. В итоге ускорение свободного падения изменяется с широтой в пределах от 9,780 м/с ² на экваторе до 9,832 м/с ² на полюсах. Значение g =9,80665 м/с ² принято в качестве нормального (стандартного) значения.

Методика проведения измерений и описание установки

Эксперимент состоит в определении ускорения свободного падения тел различной массы.

Общий вид установки Атвуда показан на рисунке 2.2.

На вертикальной колонне 1, установленной на основании 2, закреплены три кронштейна: неподвижный нижний кронштейн 3 и два подвижных: средний 4 и верхний 5, а также верхняя втулка 6. На верхней втулке закреплен ролик 7 и электромагнит 11. Через ролик проходит нить 12 с привязанными на ее концах грузиками 14 и 8.

Электромагнит, после подведения к нему питающего напряжения, при помощи фрикционной муфты, удерживает систему ролика с грузиками в состоянии покоя.

Верхний и средний кронштейны можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в любом положении, устанавливая таким образом длину пути равномерноускоренного и равномерного движений грузика 14. Для облегчения определения этих путей на колонке имеется миллиметровая шкала, все кронштейны имеют указатель положения, а верхний кронштейн - дополнительную черту, облегчающую точное согласование нижней грани верхнего, большого грузика с определенным началом пути движения.

На среднем кронштейне закреплен кронштейн 9 и фотоэлектрический датчик 10. Кронштейн 9 снимает с падающего вниз большого грузика дополнительный грузик 13, а фотоэлектрический датчик в это время образует электрический импульс, сигнализирующий начало равномерного движения больших грузиков. Оптическая ось фотоэлектрического датчика (черта на его корпусе) находится на уровне указателя положения среднего кронштейна.

Нижний кронштейн оснащен фотоэлектрическим датчиком с оптической осью на уровне указателя положения кронштейна, после пересечения которой нижней гранью падающего грузика образуется электрический сигнал, указывающий прохождение грузиками определенного пути.

На основании прибора, прикрепленного к нему жестко, находится миллисекундомер РМ-15.

Через ролик, смонтированный на подшипнике таким образом, чтобы он мог вращаться с возможно малым сопротивлением, проходит нитка с двумя одинаковыми грузиками массой М каждый (14 и 8). Система при этом находится в равновесии.

Если по одну сторону блока прибавим небольшой грузик массой m (13), тогда система получит ускорение под влиянием силы mg и, передвигаясь с ускорение а, пройдет путь S.

По второму закону Ньютона для грузиков слева и справа (рис. 2.3):

, (2.7)