 |
Суммирование погрешностей
|
|
|
|
Общая абсолютная погрешность измерения D всегда содержит две составляющие: систематическую погрешность D с и случайную погрешность D сл
Можно оценить величину D с (п.4) и отдельно оценить величину D. Как после этого найти суммарную погрешность?
Общая абсолютная погрешность находится по формуле
. (1.3)
Сложение погрешностей можно интерпретировать и графически (рис. 1.2). Общая погрешность D равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются Dс и Dсл.
Покажем, что часто при сложении погрешностей формулой (1.3) можно и не пользоваться. Пусть одна из погрешностей, например Dс, в 2 раза меньше, чем другая Dсл. Тогда, согласно формуле (1.3),
= 
.
Видно, что абсолютная погрешность в этом случае лишь на 10% больше, чем случайная. То есть если бы систематической погрешности вообще не было, то в нашем примере это мало бы повлияло на общую абсолютную погрешность. Теперь учтем, что погрешность редко удается оценить с точностью лучше чем 10-20%, тогда в нашем случае можно положить D=D сл, то есть систематической погрешностью D с можно вообще пренебречь.
Из сказанного вытекают следующие правила измерений:
1. Если систематическая погрешность в два и более раз больше, чем случайная, то случайной погрешностью можно пренебречь; большое количество измерений при этом проводить нецелесообразно, так как D с не уменьшается при увеличении n. Итак, если D с > 2Dсл, то D» D с (при этом достаточно провести три-четыре измерения только для того, чтобы убедиться, что показания прибора повторяются без случайных отклонений).
2. Если, наоборот, случайная погрешность более чем в 2 раза превышает систематическую, то систематической погрешностью можно пренебречь, то есть если D сл > 2D с, то D» D сл (желательно провести побольше измерений для уменьшения D сл).
|
|
|
3. Если обе составляющие общей абсолютной погрешности соизмеримы, то следует их суммировать по формуле (1.3) или графически по рис. 1.3. (Количество измерений целесообразно увеличить для уменьшения Dсл и перехода к случаю 1).
Принимая во внимание, что вместо D сл можно взять её оценку s, то формула (1.3) примет вид:
На схеме (рис. 1.3) обобщены методы определения погрешности при прямых измерениях.
 |
Правила округления погрешности и результата измерения
Рассчитывая значения систематической, случайной и суммарной погрешностей, особенно при использовании электронного калькулятора, получают значение с большим числом знаков. Однако исходные данные для этих расчетов всегда указываются с одной или двумя значащими цифрами. Действительно, класс точности прибора на его шкале указывается не более чем с двумя значащими цифрами, а среднее квадратичное отклонение не имеет смысла записывать с более чем двумя значащими цифрами, так как точность этой оценки при 10 измерениях не выше 30%.
Вследствие этого и в окончательном значении расчетной погрешности должны быть оставлены только первые одна – две значащие цифры.
При этом необходимо учитывать следующее. Если полученное число начинается с цифры 1 или 2, то отбрасывание второго знака приводит к очень большой ошибке (до 30 – 50%), это недопустимо. Если же полученное число начинается, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, то есть указание погрешности, например, 0,94 вместо 0,9, является дезинформацией, так как исходные данные не обеспечивают такой точности.
В итоге можно сформулировать правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного экспериментального результата измерения:
1. Абсолютная погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, – если первая есть 3 и более.
|
|
|
2. Среднее значение измеренной величины округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.
3. Относительную погрешность, выраженную в процентах, достаточно записать двумя значащими цифрами.
4. Округления производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления будут с одним-двумя лишними знаками.
Пример: На вольтметре класса точности 2,5 с пределом измерений 300 В были произведены несколько повторных измерений одного и того же напряжения. При этом оказалось, что все замеры дали одинаковый результат 267,5 В.
Отсутствие различий между знаками говорит о том, что случайная погрешность пренебрежимо мала, поэтому суммарная погрешность совпадает с систематической (см. рис. 1.3 а).
Сначала найдем абсолютную, а затем относительную погрешности. Абсолютная погрешность градуировки прибора равна:
Так как первая значащая цифра абсолютной погрешности больше трех, то это значение должно быть округлено до 8 В.
Относительная погрешность:
В значении относительной погрешности должны быть сохранены два значащих разряда 2,8%
Таким образом, в окончательном ответе должно быть сообщено “Измеренное напряжение U =(268+8) В при относительной погрешности dU =2,8% ”.
|
|
|
