Графическое представление логической функции в виде Карты Карно (диаграммы Вейча)

Логическая функция может быть представлена графически в виде карт минтермов - карт Карно.

Логическую функцию предварительно, исходя из таблицы истинности, приводят к совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ):

 

,

 

Где f_i, m_i - значение функции (0 или 1) и минтерм, соответствующий i-ому набору переменных.

Минтерм - конъюнкция переменных, которые входят либо в прямом виде, если значение данной переменной в наборе равно 1, либо в инверсном виде, если значение переменной равно 0.

Минтерм - это простая конъюнкция, в которую входят все аргументы рассматриваемой логической функции [3].

Простой конъюнкцией считается логическое произведение переменных, взятых с отрицаниями или без них, в котором каждая переменная встречается не более одного раза (в простую конъюнкцию не должны входить суммы переменных, отрицания функций двух или нескольких переменных).

После представления функции в СДНФ, следует заполнить прямоугольную таблицу, в которой число клеток равно числу возможных минтермов. Эту таблицу называют диаграммой Вейча или картой Карно. Каждой клетке таблицы ставится в соответствие определенная конъюнкция так, чтобы в соседних клетках (снизу и сверху, слева и справа) конъюнкции отличались не более чем одним сомножителем. Для этого нумерацию столбцов и строк таблицы ведут кодом Грея, количество разрядов которого равно количеству переменных, отведенных для строк и столбцов.

При заполнении таблицы в соответствующую клетку ставится 1, если логическая функция при данном наборе аргументов равна единице(рис.1.1-1.4).

 

x1 x2	0	1
0
1

Рис.1.1 Карта Карно для логической функции двух аргументов.

x1x2  x3	00	01	11	10
0
1

Рис.1.2 Карта Карно для логической функции трех аргументов.

 

x1x2 x3x4	00	01	11	10
00
01
11
10

Рис. 1.3 Карта Карно для логической функции четырех аргументов.

 

 

x1x2x3 x4x5	000	001	011	010	110	111	101	100
00
01
11
10

Рис.1.4 Карта Карно для логической функции пяти переменных.

 

Между представлением логической функции в табличной (таблица истинности), алгебраической (в виде СДНФ) и графической (на карте Карно) формах имеется однозначное соответствие. Логическая функция на карте Карно представляется совокупностью клеток, заполненных 1, инверсия этой функции представляется совокупностью пустых клеток (или заполненных 0).

Для логических функций с числом переменных n ³ 6 наглядность карт Карно теряется и поэтому такие функции представляются в виде композиции функции меньшего числа переменных:

 

,

 

где x₁ - выделяемая переменная;

функции  получаются из функции f подстановкой значений x₁=0 и x₁=1.

В качестве выделяемой может использоваться любая переменная. Например,

 

 

Процесс выделения более простых функций называется декомпозицией. Полученные функции f₀ и f₁ могут подвергаться дальнейшей декомпозиции.

Логические операции

 

Множество логических функций n переменных можно образовать посредством трех основных логических операций:

1) Логическое отрицание (инверсия);

2) Логическое сложение (дизъюнкция);

3) Логическое умножение (конъюнкция).

Более сложные логические преобразования можно свести к указанным операциям [4]. Логические функции подчиняются принципу дуальности (двойственности) - теоремы Де Моргана; согласно которому операции конъюнкции и дизъюнкции допускают взаимную замену, если одновременно поменять логическую 1 на 0, 0 на 1, знак Ú (+) на Ù(×), а Ù(×) на Ú (+), где Ú или + - обозначение операции дизъюнкции; Ù или × - обозначение операции конъюнкции.

 

Аксиомы булевой алгебры

 

Булева алгебра базируется на нескольких аксиомах, из которых выводят основные законы для преобразований с двоичными переменными (табл. 1.6, 1.7)

 

Таблица 1.6

Аксиомы булевой алгебры

конъюнкция		дизъюнкция
0×0=0		0+0=0
0×1=0		0+1=1
1×1=1		1+1=1
	x×0=0	x+0=x
	x×1=x	x+1=1
	x×x=x	x+x=x

Таблица 1.7

Законы булевой алгебры

Закон булевой алгебры	Конъюнкция	Дизъюнкция
1	2	3
Переместительный (коммутативности)	x1 x2 = x2 x1	x1+ x2 = x2 + x1
Сочетательный (ассоциативности)	x1 x2 x3 = x1 (x2 x3) = (x1 x2)x3	x1+ x2 +x3 = (x1+ x2)+ x3= =x1 +(x2+ x3)
Распределительный (дистрибутивности)	x1(x2 +x3)= x1 x2 + x1 x3	x1+(x2x3)= (x1+x2)(x1+x3)
Поглощения	x1+ x1 x2 = x1	x1 (x1+ x2) = x1
Склеивания	x1
Де Моргана (инверсии, дуальности)
Развертывания
Не полного развертывания

Предыдущая12345678Следующая

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: